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數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
在日常過(guò)程學(xué)習(xí)中,說(shuō)到知識(shí)點(diǎn),大家是不是都習(xí)慣性的重視?知識(shí)點(diǎn)也可以理解為考試時(shí)會(huì)涉及到的知識(shí),也就是大綱的分支。哪些才是我們真正需要的知識(shí)點(diǎn)呢?下面是小編為大家整理的數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié),希望對(duì)大家有所幫助。
數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1
【不等關(guān)系及不等式】
一、不等關(guān)系及不等式知識(shí)點(diǎn)
1.不等式的定義
在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)、、連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.
2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小
兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的`運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的,有a-baa-b=0a-ba0,則有a/baa/b=1a/ba
3.不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性:ab
(2)傳遞性:ab,ba
(3)可加性:aa+cb+c,ab,ca+c
(4)可乘性:ab,cacb0,c0bd;
(5)可乘方:a0bn(nN,n
(6)可開(kāi)方:a0
(nN,n2).
注意:
一個(gè)技巧
作差法變形的技巧:作差法中變形是關(guān)鍵,常進(jìn)行因式分解或配方.
一種方法
待定系數(shù)法:求代數(shù)式的范圍時(shí),先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式,再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù),最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍。
數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2
●不等式
1、不等式你會(huì)解么?你會(huì)解么?如果是寫(xiě)解集不要忘記寫(xiě)成集合形式!
2、的解集是(1,3),那么的解集是什么?
3、兩類恒成立問(wèn)題圖象法——恒成立,則=?
★★★★分離變量法——在[1,3]恒成立,則=?(必考題)
4、線性規(guī)劃問(wèn)題
。1)可行域怎么作(一定要用直尺和鉛筆)定界——定域——邊界
。2)目標(biāo)函數(shù)改寫(xiě):(注意分析截距與z的關(guān)系)
。3)平行直線系去畫(huà)
5、基本不等式的形式和變形形式
如a,b為正數(shù),a,b滿足,則ab的.范圍是
6、運(yùn)用基本不等式求最值要注意:一正二定三相等!
如的最小值是的最小值(不要忘記交代是什么時(shí)候取到=。。
一個(gè)非常重要的函數(shù)——對(duì)勾函數(shù)的圖象是什么?
運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)來(lái)處理下面問(wèn)題的最小值是
7、★★兩種題型:
和——倒數(shù)和(1的代換),如x,y為正數(shù),且,求的最小值?
和——積(直接用基本不等式),如x,y為正數(shù),,則的范圍是?
不要忘記x,xy,x2+y2這三者的關(guān)系!如x,y為正數(shù),,則的范圍是?
數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)3
。ㄒ唬⒂成、函數(shù)、反函數(shù)
1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射。
2、對(duì)于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):
。1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。
。2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問(wèn)題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式。
。3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù)。
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:
。1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;
。2)由y=f(x)的解析式求出x=f—1(y);
。3)將x,y對(duì)換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1(x),并注明定義域。
注意①:對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起。
②熟悉的應(yīng)用,求f—1(x0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過(guò)程,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。
。ǘ⒑瘮(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒(méi)有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫(xiě)出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對(duì)應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型:
。1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,這時(shí)自變量x有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;
(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可。如:
、俜质降姆帜覆坏脼榱;
、谂即畏礁谋婚_(kāi)方數(shù)不小于零;
、蹖(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
、苤笖(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集)。
。3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時(shí)f(x)的定義域,即g(x)的值域。
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況。
(1)根據(jù)某實(shí)際問(wèn)題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)尋求函數(shù)的解析式。
。2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可。
。3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。
。4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(—x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式。
。ㄈ⒑瘮(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
。1)直接法:亦稱觀察法,對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域。
。2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡(jiǎn)單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元。
。3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f—1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過(guò)求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得。
。4)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問(wèn)題可考慮用配方法。
。5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過(guò)應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。
。6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
。7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。
(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲怠R虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問(wèn)的角度不同,因而答題的方式就有所相異。
如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無(wú)最小值。再如函數(shù)的值域是(—∞,—2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無(wú)值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時(shí),函數(shù)的最小值為2?梢(jiàn)定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。
3、函數(shù)的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
函數(shù)的'最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤(rùn)”或“面積(體積)(最。钡戎T多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約,以便能正確求得最值。
。ㄋ模⒑瘮(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義:對(duì)于函數(shù)f(x),如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=—f(x)(或f(—x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))。
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=—f(x)或f(—x)=f(x)是定義域上的恒等式。(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì))。
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:
注意如下結(jié)論的運(yùn)用:
(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);
。2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
。3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);
。4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論
。1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。
。2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立。
。4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則F(x)=f(x)+f(—x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)—f(—x)是奇函數(shù)。
(6)奇偶性的推廣
函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a—x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù)。函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任—x都有f(a+x)=—f(a—x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。
學(xué)好數(shù)學(xué)的方法
學(xué)好數(shù)學(xué)第一要養(yǎng)成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。這是我多年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)好方法,因?yàn)樘崆鞍牙蠋熞v的知識(shí)先學(xué)一遍,就知道自己哪里不會(huì),學(xué)的時(shí)候就有重點(diǎn)。當(dāng)然,如果完全自學(xué)就懂更好了。
第二是書(shū)后做練習(xí)題。預(yù)習(xí)完不是目的,有時(shí)間可以把例題和課后練習(xí)題做了,檢查預(yù)習(xí)情況,如果都會(huì)做說(shuō)明學(xué)會(huì)了,即使不會(huì)還能再聽(tīng)老師講一遍。
第三個(gè)步驟是做老師布置的作業(yè),認(rèn)真做。做的時(shí)候可以把解題過(guò)程直接寫(xiě)在題目旁邊,比如選擇題和填空題,因?yàn)榻獯痤}有很多空白處可寫(xiě)。這樣做的好處就是,老師講題時(shí)能跟上思路,不容易走神。
第四個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是整理錯(cuò)題。每次考試結(jié)束后,總會(huì)有很多錯(cuò)題,對(duì)于這些題目,我們不要以為上課聽(tīng)懂了就會(huì)做了,看花容易繡花難,親手做過(guò)了才知道會(huì)不會(huì)。而且要把錯(cuò)的題目對(duì)照書(shū)本去看,重新學(xué)習(xí)知識(shí)。
第五個(gè)提高數(shù)學(xué)成績(jī)的方法是查缺補(bǔ)漏。在做了大量習(xí)題以后,數(shù)學(xué)成績(jī)有所提高,但還是存在一些不會(huì)做的題目,我們要善于發(fā)現(xiàn)哪些類型的題目還存在盲區(qū),然后逐一擊破。
下一個(gè)方法是提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)段?赡軘(shù)學(xué)學(xué)了一段時(shí)間,成績(jī)老是上不去,這是要總結(jié)差在哪里?基礎(chǔ)題還是拔高題,然后對(duì)自己提出高要求,基礎(chǔ)題目爭(zhēng)取不丟分,然后做一些有難度的題目。
第七個(gè)數(shù)學(xué)提分方法是掌握一些數(shù)學(xué)解題思路。數(shù)學(xué)很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的,大家要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),比如歸納法、分類討論法等等。
第八個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是“鉆”。當(dāng)遇到難題百思不得其解時(shí),學(xué)霸們的做法通常是思考一兩天,而學(xué)酥的做法則是一掃而過(guò),其中的差別已經(jīng)很明顯了,這也是成績(jī)差異的原因所在。
要想提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),最明智的做法是,考試遇到不會(huì)的題目先放過(guò)去,做完其他題目再回過(guò)頭來(lái)重新做難題。但不能連著放過(guò)去好幾道題目,那就有問(wèn)題了。
最后一個(gè)提分方法就是合理安排答題時(shí)間,規(guī)定做選擇題和大題各多長(zhǎng)時(shí)間,然后按照既定時(shí)間去做,這樣才能最有效的提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)。
數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)
1、集合的含義
2、集合的中元素的三個(gè)特性:
(1)元素的確定性如:世界上最高的山
。2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
。3)元素的無(wú)序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
。1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
。2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大
括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{x∈R|x—3>2},{x|x—3>2}
3)語(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類:
。1)有限集含有有限個(gè)元素的集合
(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合
。3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}
數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)4
【差數(shù)列的基本性質(zhì)】
、殴顬閐的等差數(shù)列,各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d。
、乒顬閐的等差數(shù)列,各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd。
、侨魗a}、為等差數(shù)列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列。
⑷對(duì)任何m、n,在等差數(shù)列{a}中有:a=a+(n—m)d,特別地,當(dāng)m=1時(shí),便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性、
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等),那么當(dāng){a}為等差數(shù)列時(shí),有:a+a+a+…=a+a+a+…。
、使顬閐的等差數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd(k為取出項(xiàng)數(shù)之差)。
、巳绻鹻a}是等差數(shù)列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數(shù)列,其公差為—d;在等差數(shù)列{a}中,a—a=a—a=md、(其中m、k、)
、淘诘炔顢(shù)列中,從第一項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。
、彤(dāng)公差d>0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)d<0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減;d=0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)。
、卧O(shè)a,a,a為等差數(shù)列中的三項(xiàng),且a與a,a與a的項(xiàng)距差之比=(≠—1),則a=。
【等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S的基本性質(zhì)】
、艛(shù)列{a}為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S可以寫(xiě)成S=an+bn的形式(其中a、b為常數(shù))。
、圃诘炔顢(shù)列{a}中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN)時(shí),S—S=nd,=;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n—1)(n)時(shí),S—S=a,=。
⑶若數(shù)列{a}為等差數(shù)列,則S,S—S,S—S,…仍然成等差數(shù)列,公差為、
、热魞蓚(gè)等差數(shù)列{a}、的前n項(xiàng)和分別是S、T(n為奇數(shù)),則=。
⑸在等差數(shù)列{a}中,S=a,S=b(n>m),則S=(a—b)。
⑹等差數(shù)列{a}中,是n的一次函數(shù),且點(diǎn)(n,)均在直線y=x+(a—)上。
、擞浀炔顢(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S、①若a>0,公差d<0,則當(dāng)a≥0且a≤0時(shí),S;②若a<0,公差d>0,則當(dāng)a≤0且a≥0時(shí),S最小。
【等比數(shù)列的基本性質(zhì)】
⑴公比為q的等比數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等比數(shù)列,其公比為q(m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差)。
⑵對(duì)任何m、n,在等比數(shù)列{a}中有:a=a·q,特別地,當(dāng)m=1時(shí),便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性。
、且话愕,如果t,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且t+k,p,…,m+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等),那么當(dāng){a}為等比數(shù)列時(shí),有:a、a、a、…=a、a、a、…。
、热魗a}是公比為q的等比數(shù)列,則{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比數(shù)列,其公比分別為|q|}、{q}、{q}、{}。
、扇绻鹻a}是等比數(shù)列,公比為q,那么,a,a,a,…,a,…是以q為公比的等比數(shù)列。
⑹如果{a}是等比數(shù)列,那么對(duì)任意在n,都有a·a=a·q>0。
、藘蓚(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積。
、坍(dāng)q>1且a>0或00且01時(shí),等比數(shù)列為遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列為常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí),等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。
【集合】
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。
2、集合的中元素的三個(gè)特性:
1、元素的確定性;2、元素的互異性;3、元素的無(wú)序性
說(shuō)明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。
。2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。
。3)集合中的元素是平等的,沒(méi)有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
。4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示:{}如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1、用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
2、集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意。撼S脭(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R
關(guān)于屬于的概念
集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A記作aA,相反,a不屬于集合A記作a?A
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號(hào)括上、
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法、用確定的.條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。
、僬Z(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x—32的解集是{x?R|x—32}或{x|x—32}
4、集合的分類:
1、有限集含有有限個(gè)元素的集合
2、無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合
3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}
二、集合間的基本關(guān)系
1、包含關(guān)系子集
注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2、相等關(guān)系(55,且55,則5=5)
實(shí)例:設(shè)A={x|x2—1=0}B={—1,1}元素相同
結(jié)論:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說(shuō)集合A等于集合B,即:A=B
、偃魏我粋(gè)集合是它本身的子集、AA
、谡孀蛹喝绻鸄B,且A1B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同時(shí)BA那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,記為
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集、
三、集合的運(yùn)算
1、交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集。
記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}、
2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集、記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}、
3、交集與并集的性質(zhì):AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB=BA。
4、全集與補(bǔ)集
。1)補(bǔ)集:設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集(即),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)
(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集、通常用U來(lái)表示。
(3)性質(zhì):⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)⑶(CUA)A=U
【立體幾何】
柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
棱柱
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱。
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
棱臺(tái)
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
圓柱
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。
圓錐
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
圓臺(tái)
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。
球體
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
NO、2空間幾何體的三視圖
定義三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
NO、3空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)
①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;
②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
直線與方程
直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
直線的斜率
定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式:
。ㄗ⒁庀旅嫠狞c(diǎn))
(1)當(dāng)時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
。2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);
(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
冪函數(shù)
定義
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞,指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=—k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(—∞,0)∪(0,+∞)、因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于x>0,則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能,即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對(duì)于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。
。2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
。3)函數(shù)圖形都是下凹的。
。4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。
。5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律,就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。
(6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。
。7)函數(shù)總是通過(guò)(0,1)這點(diǎn)。
。8)顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。
奇偶性
定義
一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)
(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=—f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。
。2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
。3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(—x)=—f(x)與f(—x)=f(x)同時(shí)成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。
(4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(—x)=—f(x)與f(—x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。
數(shù)學(xué)必修五的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5
排列組合
排列P------和順序有關(guān)
組合C-------不牽涉到順序的問(wèn)題
排列分順序,組合不分
例如把5本不同的書(shū)分給3個(gè)人,有幾種分法."排列"
把5本書(shū)分給3個(gè)人,有幾種分法"組合"
1.排列及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列;從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).
2.組合及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合;從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)
c(n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列與組合公式
從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n個(gè)元素被分成k類,每類的'個(gè)數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為
n!/(n1!_2!_.._k!).
k類元素,每類的個(gè)數(shù)無(wú)限,從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n為下標(biāo),m為上標(biāo)))
Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號(hào));Pnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!;0!=1;Pn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n
組合(Cnm(n為下標(biāo),m為上標(biāo)))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1;Cn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列,從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合,從N個(gè)元素取R個(gè),不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)!-階乘,如9!=9________
從N倒數(shù)r個(gè),表達(dá)式應(yīng)該為n_n-1)_n-2)..(n-r+1);
因?yàn)閺膎到(n-r+1)個(gè)數(shù)為n-(n-r+1)=r
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