第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案

第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案

課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教材：人教版(必修)數(shù)學(xué)第二冊(上)第八章第一節(jié)

授課教師：(吉林省)東北師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校李季

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)能用橢圓的定義解決一些簡單的問題.

2.過程與方法目標(biāo)：

(1)通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力.

(2)在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法

3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

(1)通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.

(2)通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的"簡潔美".

(3)通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識.

二、教學(xué)重點、難點：

1.重點：橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

三、教學(xué)過程

(一)認(rèn)識橢圓，探求規(guī)律：

1.對橢圓的感性認(rèn)識.通過演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實

物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓.

2.通過動畫設(shè)計，展示橢圓的形成過程，使學(xué)生認(rèn)識到橢圓是點按一定"規(guī)

律"運動的軌跡.

點是線段AC上一動點，分別以為圓心，與為半徑做圓，觀察兩圓交點的軌跡.

請同學(xué)們思考：

(1)在運動中，哪些量是不變的，哪些量是變化的?

(2)能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達式表達出來?

(3)點(橢圓上的點)是以怎樣的規(guī)律進行運動的?

(4)用這個規(guī)律能不能畫出一個橢圓?

(二)動手實驗，親身體會

用上面所總結(jié)的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生互相合作(主要在于動手)，體驗畫橢圓的過程(課前準(zhǔn)備直尺、細(xì)繩、釘子、筆、紙板)，并以此了解橢圓上的點的特征.

請兩名同學(xué)上臺畫在黑板上.

在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計一個實驗，一來是為了給學(xué)生一個創(chuàng)造實驗的機會，讓學(xué)生體會橢圓上點的運動規(guī)律；二是通過實踐，為進一步上升到理論做準(zhǔn)備.

(三)歸納定義，完善定義

我們通過動畫演示，實踐操作，對橢圓有了一定的認(rèn)識，下面由同學(xué)們歸納橢圓的定義(學(xué)生分組討論).

橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)(大于=2c)的點的軌跡叫做橢圓

在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)"和"，"常數(shù)"及"常數(shù)"的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.

如：總結(jié)動畫演示中兩圓半徑之和(常數(shù))得到橢圓上點到兩定點距離之和為常數(shù).

通過課件分別演示當(dāng)兩定點間距離等于線段長度時的軌跡(為一條線段)和當(dāng)兩定點距離大于線段長度時的軌跡(不存在)，由學(xué)生完善橢圓定義中常數(shù)的范圍.

教師指出：兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

(四)合理建系，推導(dǎo)方程

由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的"建系"方式，把學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進行比較，從中選擇比較簡潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程.

已知橢圓的焦距，橢圓上的動點到兩定點,的距離之和為，求橢圓的方程.

(1)以兩個定點,所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，點為橢圓上任意一點，則

(稱此式為幾何條件)，

所以得(實現(xiàn)集合條件代數(shù)化)，

化簡，得

注：這是本節(jié)的難點所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點：①化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法?②對于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方?學(xué)生通過實踐，發(fā)現(xiàn)對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結(jié)果.

(2)以線段中點為坐標(biāo)原點，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所得橢圓方程為：

相比之下，其它的建系方式不夠簡潔.

同學(xué)們觀察右圖，當(dāng)運動到線段AC中點時，兩圓半徑相等，即，因，則，不妨令，那么(1)(2)所得的橢圓方程可化為：

，(1)

，(2)

(在這里教師指出：我們剛才只是從"曲線的方程"的角度推導(dǎo)出了符合定義的點的坐標(biāo)滿足的方程，我們還需要從"方程的曲線"的角度來說明以方程(1)(2)的解為坐標(biāo)的點都在曲線(橢圓)上，這個問題留給學(xué)生課后完成.)

我們稱(1)(2)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

對標(biāo)準(zhǔn)方程的理解：

1.所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點在坐標(biāo)軸上，且兩焦點的中點為坐標(biāo)原點；

2.在與這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，也就是說，焦點在哪個軸上，哪個對應(yīng)的分式的分母就較大.

(五)應(yīng)用舉例，小結(jié)升華.

例1.用定義判斷下列動點的軌跡是否為橢圓.

(1)平面內(nèi)，到的距離之和為6的點的軌跡.(是)

(2)平面內(nèi)，到的距離之和為4的點的軌跡.(不是)

(3)平面內(nèi)，到的距離之和為3的點的軌跡.(不是)

例2.方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為：

例3.已知橢圓方程為，則兩焦點坐標(biāo)為：

小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識和思想方法.

1.知識總結(jié)：

橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程

2.思想方法總結(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補充、歸納、點評。

(六)、板書設(shè)計(略)

教案的設(shè)計說明：

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程中來，尤其是在思維上深層次的參與，是促進學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動性和創(chuàng)造性有著非常重要的意義.本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學(xué)走進課堂，喚醒學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主體能力，讓學(xué)生在參與中學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作、學(xué)會創(chuàng)新.

學(xué)生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認(rèn)識，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān).本節(jié)課從實例出發(fā)，設(shè)計了一對動點有規(guī)律的運動作一些理性的探索和研究.

在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識能力和思維習(xí)慣在概念的理解上，先突出"和"，在此基礎(chǔ)上再完善"常數(shù)"取值范圍.在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上，并不是直接給出教材中的"建系"方式，而是讓學(xué)生自主地"建系"，通過所得方程的比較，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，從中去體會探索的樂趣和數(shù)學(xué)中的對稱美和簡潔美.

在對教材中"令"的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學(xué)生觀察在當(dāng)為橢圓短軸端點時(但這一幾何性質(zhì)并不向?qū)W生交待)，特征三角形所體現(xiàn)出來的幾何關(guān)系，再做變換.

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