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高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題的研究
論文摘 要:大學(xué)數(shù)學(xué)課程是高校培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要載體。開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程的研究性教學(xué)是實(shí)施創(chuàng)新教育的重要組成部分。本文對(duì)開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的必要性和措施作了一些探討。教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的主要途徑。為了使我國在2013年跨入創(chuàng)新型國家行列[1],積極探索促進(jìn)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的有效課程教學(xué)模式是新時(shí)期高等教育所要著力解決的重要課題。在此背景之下,研究性教學(xué)成為近年來我國創(chuàng)新教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一[2-3]。大學(xué)數(shù)學(xué)課程在高校課程體系中占據(jù)著不可替代的重要地位,是高校創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的重要載體。因此,開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的研究和實(shí)踐對(duì)推進(jìn)創(chuàng)新教育、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)具有重要意義。本文對(duì)開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的必要性和措施作了一些有益的探討。
一、開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的必要性
從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看,問題是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的源泉和動(dòng)力。例如,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(D. Hilbert)在1900年召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講,提出被后人稱為“希爾伯特問題”的23個(gè)數(shù)學(xué)問題。這些問題為數(shù)學(xué)家開展研究指明了方向。一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題的價(jià)值在于其可以激發(fā)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維,引發(fā)思想、方法和理論方面的創(chuàng)新。因此,有人將好的數(shù)學(xué)問題比喻成會(huì)下蛋的金鵝。事實(shí)上,到目前為止,這23個(gè)問題中的大多數(shù)都已得到完滿解決,促進(jìn)了涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一些關(guān)鍵問題的研究和解決,直接推動(dòng)了代數(shù)、幾何、分析等數(shù)學(xué)分支的發(fā)展,催生出一系列的相關(guān)創(chuàng)新成果。
從人才培養(yǎng)來看,具有較強(qiáng)的創(chuàng)造性思維和問題解決能力是創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的重要目標(biāo)。理論和實(shí)踐的創(chuàng)新都來源于對(duì)問題的探索和解決過程,能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題是思維積極、具有較強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和能力的一種表現(xiàn)。愛因斯坦曾經(jīng)說過:“只有善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的人,才能產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動(dòng)!蓖瑫r(shí),分析問題視角的獨(dú)特性和解決問題的新穎性是評(píng)判創(chuàng)新型人才創(chuàng)新能力高低的重要標(biāo)準(zhǔn)。而思維的創(chuàng)造性、問題解決能力是可以利用恰當(dāng)?shù)妮d體通過后天的訓(xùn)練獲得和提高的。數(shù)學(xué)課程就是進(jìn)行這種訓(xùn)練的恰當(dāng)載體,而且?guī)浊甑慕逃龑?shí)踐也證明了其有效性。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞(G. Pólya)認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是解決問題的才智。
研究性教學(xué)是一種以問題為中心、以提高學(xué)習(xí)者的問題解決能力為目標(biāo)的教學(xué)形式。開展數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練、提高其創(chuàng)新能力和意識(shí)的必然選擇。事實(shí)上,問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維過程中發(fā)揮著重要作用:問題情境引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的抽象思維和形象思維等思維活動(dòng),進(jìn)而誘發(fā)學(xué)習(xí)者探究和創(chuàng)新等認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)行。在對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究過程中,學(xué)習(xí)者要經(jīng)歷觀察、比較、分析、歸納、猜想、概括、構(gòu)造、判斷、推理等多種認(rèn)知過程,要綜合運(yùn)用抽象、邏輯、直覺等多種思維能力。因此,這一過程就是學(xué)習(xí)者自身經(jīng)歷知識(shí)的獲取、探究、形成和運(yùn)用的過程,就是學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力的自我建構(gòu)過程。在數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)中,教師通過創(chuàng)設(shè)問題探究的研究性教學(xué)情境,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)問題的分析和研究來積極主動(dòng)完成知識(shí)的探究和學(xué)習(xí)。在這一教學(xué)模式下,教師的目標(biāo)由 “授人以魚”向“授人以漁”轉(zhuǎn)變,教師的角色由知識(shí)的灌輸者向問題情境的創(chuàng)設(shè)者、學(xué)習(xí)和研究策略的指導(dǎo)者轉(zhuǎn)變;學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)由“學(xué)會(huì)”向 “會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變,學(xué)生的角色由消極被動(dòng)的接受者向積極主動(dòng)的參與者、知識(shí)與能力的自我建構(gòu)者轉(zhuǎn)變。教師與學(xué)生圍繞問題開展質(zhì)疑、驗(yàn)證、討論等多種交流互動(dòng),學(xué)生要親歷問題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決全過程。所以,開展以問題為中心的大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變,使學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力得到更為有效的訓(xùn)練和提高。
二、開展大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的措施
針對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn),并結(jié)合近年來教學(xué)實(shí)踐,我們認(rèn)為可以采取以下措施切實(shí)推進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的開展,更好地服務(wù)于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)這一中心目標(biāo)。
。ㄒ唬 將數(shù)學(xué)文化融入課程教學(xué)
將數(shù)學(xué)文化有機(jī)融入數(shù)學(xué)課程教學(xué),以此推動(dòng)數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)的進(jìn)行,主要著眼于以下兩方面。
1.研究性教學(xué)是以問題為中心的教學(xué)方法。教師必須根據(jù)教學(xué)目標(biāo),結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴},合理選取素材,創(chuàng)設(shè)一個(gè)開放生動(dòng)的學(xué)習(xí)和探究的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生自主地開展學(xué)習(xí)、研究活動(dòng)。而數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)名題等是教師開展研究性教學(xué)時(shí)進(jìn)行問題設(shè)計(jì)和研究素材選取的重要來源。例如,在高等數(shù)學(xué)課程中,利用第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的有關(guān)問題和情況開展微積分相關(guān)概念的研究性教學(xué)。在介紹完無窮小量、極限、導(dǎo)數(shù)、微分等概念后,向?qū)W生提出一些問題:哪些概念是微積分中的根本性概念?無窮小量是不是零?在學(xué)生思考和討論的過程中,穿插介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中曾經(jīng)出現(xiàn)過的一些謬論、錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),讓學(xué)生去辨識(shí)。同時(shí),還做一些包含錯(cuò)誤的演算演示,讓學(xué)生找出演算中的錯(cuò)誤。比如,在增量為無窮小的情況下,直接令其為零。在這樣的研究性教學(xué)中,學(xué)生能夠搞清微積分中諸如無窮小量、無窮大量、極限、導(dǎo)數(shù)、微分等重要概念。同時(shí),他們也能體會(huì)到:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究不能陷于形式的計(jì)算和推導(dǎo),要注意自己數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的嚴(yán)密和扎實(shí)性。事實(shí)上,在這樣的教學(xué)過程中,學(xué)生不僅對(duì)所學(xué)內(nèi)容有了更深的認(rèn)識(shí),而且可以吸取數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。
2.學(xué)生學(xué)習(xí)和研究的自主性是影響研究性教學(xué)成
敗的關(guān)鍵性因素之一。因此,教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)趣味盎然的教學(xué)情境,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究未知問題的主動(dòng)性,這樣才能保證研究性教學(xué)的順利進(jìn)行。而數(shù)學(xué)史料、詩詞歌賦、數(shù)學(xué)家生平等數(shù)學(xué)文化素材為進(jìn)行上述工作提供了重要依托。例如,著名的哥尼斯堡七橋問題將抽象的拓?fù)鋵W(xué)與通俗的生活問題相連,教師可用它進(jìn)行拓?fù)湔n程的研究性教學(xué),自然地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展起源并闡述同胚的實(shí)質(zhì)。又如,楊振寧先生寫過一首名為“贊陳氏級(jí)”的詩[4]:“天衣豈無縫,匠心剪接成。渾然歸一體,廣邃妙絕倫。造化愛幾何,四力纖維能。千古寸心事,歐高黎嘉陳!崩眠@首詩可以創(chuàng)設(shè)趣味盎然的微分幾何研究性教學(xué)情景:以詩中提到的歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當(dāng)、陳省身五位數(shù)學(xué)大師生平與貢獻(xiàn)為線索,介紹幾何學(xué)的發(fā)展史,并將課程的相關(guān)內(nèi)容前后勾連、有效銜接;以此詩的撰寫背景來闡述幾何與物理殊途同歸、相互促進(jìn)的關(guān)系。 數(shù)學(xué)文化是一門涉及數(shù)學(xué)、歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)等的交叉科學(xué)。因此,將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué),其重要意義在于:它可以在數(shù)學(xué)與人文科學(xué)之間架設(shè)起一座橋梁,將科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育有機(jī)融合。
。ǘ┳龊脭(shù)學(xué)軟件的教學(xué)工作
經(jīng)過多年的發(fā)展,目前MATLAB、MATHEMATICS等數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)圖形繪制、數(shù)值計(jì)算等方面的功能日益強(qiáng)大和完善,可以幫助數(shù)學(xué)、物理、工程、電子、設(shè)計(jì)等理工科專業(yè)人員快速高效地解決在應(yīng)用和研究中出現(xiàn)的許多問題。比如,利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬是解決工程問題的有效途徑之一。因此,有必要通過恰當(dāng)?shù)姆绞郊訌?qiáng)數(shù)學(xué)軟件使用教學(xué),這也是開展數(shù)學(xué)研究性教學(xué)的重要組成部分。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程是進(jìn)行數(shù)學(xué)軟件使用教學(xué)的一個(gè)優(yōu)良平臺(tái)。它讓學(xué)生從問題出發(fā),利用數(shù)學(xué)軟件,通過親自動(dòng)手來體驗(yàn)分析和解決問題的過程,去探究和驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律。限于課時(shí)等原因,目前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開設(shè)情況還不夠理想。而且,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容選擇過于寬泛,與具體課程教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合不夠緊密。這都在一定程度上影響了數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)課程研究性教學(xué)中作用的發(fā)揮。這是在今后的教學(xué)改革和實(shí)踐中要著力解決的問題。
我們可將數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用內(nèi)容以模塊化的形式融入具體數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中。這是順應(yīng)計(jì)算機(jī)技術(shù)普及趨勢(shì)的必然選擇,也是在數(shù)學(xué)課程中開展研究性教學(xué)的客觀要求。事實(shí)上,陳省身和錢學(xué)森先生在2013世紀(jì)201313年代就指出了數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注計(jì)算機(jī)的深刻影響,倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課程教學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的緊密結(jié)合。通過這種化整為零的方式,可以更為有效地組織數(shù)學(xué)課程的研究性教學(xué),打破了數(shù)學(xué)課程教學(xué)的單調(diào)性,增強(qiáng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)踐性,提升課程的教學(xué)效果。
從教學(xué)實(shí)踐來看,這種模塊化的教學(xué)方式在學(xué)時(shí)有限的背景下更為行之有效。例如,在線性代數(shù)、最優(yōu)化等課程中,學(xué)生可利用數(shù)學(xué)軟件的數(shù)值計(jì)算功能進(jìn)行例題的計(jì)算和數(shù)值模擬,使其從一些不必要的機(jī)械計(jì)算練習(xí)中解放出來,能夠有更多的精力關(guān)注理論和方法的學(xué)習(xí)。在解析幾何、微分幾何等幾何類課程中,利用數(shù)學(xué)軟件在圖形繪制方面的強(qiáng)大功能快速而準(zhǔn)確地繪制出教學(xué)中所涉及的曲線、曲面等幾何圖形,使課程的研究性教學(xué)更為直觀生動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生開展對(duì)幾何對(duì)象性質(zhì)的探究和驗(yàn)證。利用數(shù)學(xué)軟件也可以給予一些非幾何課程中的抽象結(jié)論以幾何解釋,幫助學(xué)生從多角度理解課程的教學(xué)內(nèi)容。例如,線性方程組求解是線性代數(shù)中的經(jīng)典內(nèi)容。借助數(shù)學(xué)軟件用對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行研究性教學(xué):三元一次方程對(duì)應(yīng)于三維空間中的一個(gè)平面,而三元一次方程組求解的問題就相當(dāng)于求各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的平面交點(diǎn)問題。利用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件繪制出各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)平面的圖形,讓學(xué)生觀察其交點(diǎn)的情況,并與計(jì)算結(jié)果相對(duì)比。然后,讓學(xué)生就二元一次方程組、四元一次方程組等情況作進(jìn)一步討論和驗(yàn)證。學(xué)生感覺這種方式非常新穎、直觀。
(三)做好數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)工作
應(yīng)用既是數(shù)學(xué)的歸宿,又是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要來源。正如著名數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾所說:“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí),并且用于現(xiàn)實(shí)!比A羅庚先生曾這樣概括過數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍之廣:“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁,無處不用數(shù)學(xué)!盵5]數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用為數(shù)學(xué)課程的研究性教學(xué)的問題設(shè)計(jì)、知識(shí)引入、理論實(shí)踐等提供了重要幫助,為靈活多樣研究性教學(xué)方式的開展提供了支撐,也為學(xué)生創(chuàng)新能力和探究精神的培養(yǎng)提供了依托。
大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有著眾多實(shí)際應(yīng)用。例如,線性代數(shù)、工程數(shù)學(xué)等在氣象
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