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秦漢時(shí)期的土地面積單位換算問題
秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)史料極其稀缺，每一次考古發(fā)現(xiàn)涉及數(shù)學(xué)的部分，都值得深入研究，以下是小編搜集的一篇相關(guān)論文范文，歡迎閱讀參考。
1中國(guó)早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)簡(jiǎn)介
2007年12月湖南大學(xué)岳麓書院從香港搶救性收購(gòu)了一批秦代竹簡(jiǎn)，這批竹簡(jiǎn)是繼1975年云夢(mèng)睡虎地秦簡(jiǎn)和2002年湘西里耶秦簡(jiǎn)之后的又一次重要發(fā)現(xiàn)。其中涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的竹簡(jiǎn)二百四十余枚，總字?jǐn)?shù)6300字左右，完整算題80余例，另有解決某一類問題的單獨(dú)術(shù)文。按照原簡(jiǎn)背面的標(biāo)題，這部分被稱為《數(shù)》，經(jīng)研究確定其成書時(shí)間早于1983年出土于湖北張家山漢墓的《算數(shù)書》，成為迄今為止所發(fā)現(xiàn)的最早的系統(tǒng)性中國(guó)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。
秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)史料極其稀缺，每一次考古發(fā)現(xiàn)涉及數(shù)學(xué)的部分，都值得深入研究。但其他一些涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的竹簡(jiǎn)，僅記載零星的數(shù)學(xué)資料，如清華大學(xué)所藏戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)中有記載乘法運(yùn)算的《算表》，2002年發(fā)現(xiàn)的里耶秦簡(jiǎn)中也有九九乘法口訣，其能提供的數(shù)學(xué)史信息均不夠豐富。少有像《算數(shù)書》和《數(shù)》這樣較為完整具、編排較成體系的著作。《算數(shù)書》自2001年簡(jiǎn)文公布以來(lái)，在數(shù)學(xué)史界產(chǎn)生了重大影響，關(guān)于其作者以及與《九章算術(shù)》的關(guān)系等問題，學(xué)界均作了深入研究和討論，中國(guó)數(shù)學(xué)史的開篇將因此改寫，《算數(shù)書》成為不可不書的重要一章。2012年12月《數(shù)》的原簡(jiǎn)照片出版公布，經(jīng)考古學(xué)界和數(shù)學(xué)史界的初步研究發(fā)現(xiàn)，與《算數(shù)書》一樣，《數(shù)》的題目類型、內(nèi)容、表述方式和解題思路跟漢代成書的經(jīng)典傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)》有密切聯(lián)系，與《算數(shù)書》也有部分呼應(yīng)，另外還出現(xiàn)了其他早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中罕見的駐扎營(yíng)軍問題。
而一直作為數(shù)學(xué)史界研究重點(diǎn)的《九章算術(shù)》，在有了《算數(shù)書》和《數(shù)》這兩部出土文獻(xiàn)作為文本上的他者(theother)的對(duì)照，也隱隱凸顯出以往被忽略的一些特性，如更宏大的問題背景、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)處理和更復(fù)雜的制度設(shè)計(jì)思想等。這或許意味著，在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)用取向的基礎(chǔ)上，還分化出不同的層次。有必要將傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)》與出土文獻(xiàn)《算數(shù)書》《數(shù)》就其中的典型問題進(jìn)行深入比較，進(jìn)一步解釋這三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，這將有助于我們加深對(duì)中國(guó)早期數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)。
2秦漢時(shí)期的土地面積單位轉(zhuǎn)換問題
上述三種文獻(xiàn)中，關(guān)于面積單位換算有平方步與畝的換算和平方里與畝的換算兩種。前一種在三文本中均比較常用，而換算的方式往往沒有明確給出，有時(shí)暗含在術(shù)文之中，基本上可以認(rèn)為這種換算是極為普通的背景知識(shí)，且畝在實(shí)際運(yùn)用中是記錄面積的最普遍單位標(biāo)準(zhǔn)。我們看到三種文本中凡是結(jié)果超過(guò)二百四十平方步的答案，全部轉(zhuǎn)換為一畝(又)多少步的形式。
而對(duì)于第二種轉(zhuǎn)換，三文本中都專門提及，稱為里田術(shù)，但顯然應(yīng)用率不高，《數(shù)》中只有里田術(shù)文，無(wú)算例;《算數(shù)書》中有兩種術(shù)文，一道算例;《九章算術(shù)》中有術(shù)文，配合兩道極為簡(jiǎn)單的算例。除此之外，未有以里作為單位記錄的長(zhǎng)度，以及把平方里轉(zhuǎn)換為畝的情況。這與單位里的長(zhǎng)度過(guò)大有關(guān)，依秦制，一里等于300步，在日常的土地測(cè)量中用到這么大的計(jì)量單位較少�！端銛�(shù)書》中里田術(shù)僅有的一道例題后，直(置)提封以此為之一句也為我們提示了這一點(diǎn)。提封，亦稱提封田�！稘h書﹒地理志下》提封田一萬(wàn)萬(wàn)四千四百一十三萬(wàn)六千四百五傾，師古曰：提封者，大舉其封疆也。
看來(lái)平方里的面積單位，在涉及邊疆土地的丈量和劃界中會(huì)使用到。但是，即便在經(jīng)常處理宏大問題的《九章算術(shù)》中，這種計(jì)量和換算也很少見。
2.1平方步與畝之間的轉(zhuǎn)換
《九章算術(shù)》中首次提到平方步與畝之間的換算是在方田術(shù)文里，以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一傾�！端銛�(shù)書》中第64題啟廣題題中使用了一畝等于240平方步的關(guān)系。啟廣回從(縱)卅步，為啟廣幾何而為田一畝?曰：?jiǎn)ⅰ緩V】八步。術(shù)曰：以卅步為法，以二百卌步為實(shí)。啟從(縱)亦如此。
求為田一畝時(shí)的廣長(zhǎng)，直接以240(平方)步作為被除數(shù)，顯然是默認(rèn)了這一轉(zhuǎn)換關(guān)系。而在《數(shù)》中的第1714號(hào)簡(jiǎn)記錄的除田之術(shù)為《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》所沒有，肖燦博士認(rèn)為此處模糊的首字可訓(xùn)解為開、啟，給出或張開、伸展之意，并轉(zhuǎn)引鄒大海先生的觀點(diǎn)，認(rèn)為這與《算數(shù)書》中的啟廣、啟從問題同意，但從內(nèi)容來(lái)看，這卻為啟廣、啟從的逆運(yùn)算。
除田之述(術(shù))曰：以從(縱)二百卌步者，除廣一步，得田一畝，除廣十步，得田十畝，除廣百步，得田一頃，除廣千步得田【十傾】1714而筆者認(rèn)為此處的意義更在于告訴了當(dāng)從為240步、廣為1步時(shí)的面積，240(平方)步即為一畝。并且間接提到了單位傾與畝之間的關(guān)系，除廣百步，(得百畝)，得田一傾。在簡(jiǎn)0829、0954、0976、0761中都運(yùn)用到了平方步與畝的換算。而可以推測(cè)簡(jiǎn)1714所在原簡(jiǎn)編連中的位置有可能在這些簡(jiǎn)之前，否則給出這樣簡(jiǎn)單、化整的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明一條術(shù)文，意義并不大。然而這個(gè)換算關(guān)系并非一直是統(tǒng)一的，周代的田畝制度，一畝是一百平方步，到秦孝公時(shí)，商鞅廢井田，開阡陌，制定的畝制是二百四十平方步。在漢武帝之前，周制與秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一畝，到了漢武帝時(shí)統(tǒng)一規(guī)定，均以二百四十平方步為一畝。在三種文獻(xiàn)的少?gòu)V問題中，都暗含著一畝等于二百四十平方步的條件，這種換算是直接拿來(lái)使用的。
2.2平方里與畝之間的轉(zhuǎn)換
我們?cè)倏唇榻B平方里與畝換算關(guān)系的里田術(shù)�！稊�(shù)》中的里田問題比較簡(jiǎn)單：
里田述(術(shù))曰：里乘里=，〔里〕也，因而參之，有(又)參五之，為田三頃七十五畝。0947叁之，有(又)叁五之表示用3稱，再用5連續(xù)稱三次，這樣一平方里就轉(zhuǎn)化成了375畝，即三傾七十五畝。算術(shù)表示為：1(平方里)=13555=375畝=3傾75畝。這與《算數(shù)書》中的一種表述十分類似：
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里田術(shù)曰：里乘里，里也，廣、從(縱)各一里，即直(置)一因而三之，有(又)三五之，即為回三頃七十五敵。其廣從(縱)不等者，先以里相乘，已乃因而三之，有(又)三五之，乃成。我們先對(duì)這個(gè)1平方里=375畝的結(jié)果作個(gè)解釋。因?yàn)?里等于300步，那以平方步來(lái)算，其面積為300300平方步，再結(jié)合一畝等于240平方步的默認(rèn)條件，得到(300300)/240=375畝。這個(gè)結(jié)果與上面3555的結(jié)果是完全一致的。但這個(gè)連乘式有何數(shù)學(xué)意義，分別為《算數(shù)書》和《數(shù)》作注釋的彭浩先生和肖燦博士都沒有給出。彭先生認(rèn)為此算法把一平方里為田三百七十五畝以3(555)表示，省去把里化作平方步相乘，再以畝法相除的復(fù)雜數(shù)字計(jì)算，并以一位數(shù)代替多位數(shù)相乘，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。
其實(shí)這里只是找到了一種等價(jià)的算式，而非簡(jiǎn)化了運(yùn)算，(300300)/240不能直接化簡(jiǎn)為3(555)。其他數(shù)學(xué)換算思路也都無(wú)法得解。這里的算式有拼湊結(jié)果之疑，這種做法在《數(shù)》中一道盈不足算題里也可以體現(xiàn)。那《九章算術(shù)》在里田術(shù)方面是怎樣記述的呢?
里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。亦是直接給出了換算結(jié)果，沒有數(shù)據(jù)得來(lái)過(guò)程。即便連向來(lái)全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膭⒒赵谶@里的注釋也只寫了按：此術(shù)廣從里數(shù)相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得商數(shù)也，沒有提到任何3(555)的步驟。另查沈康身、李繼閔兩位先生對(duì)《九章算術(shù)》的經(jīng)典注釋，也都是用(300300)/240來(lái)解釋此結(jié)果。我們可以懷疑是張蒼、耿壽昌在編纂《九章算術(shù)》或劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)，將當(dāng)時(shí)流傳的這個(gè)不合理的運(yùn)算給刪去了。若是這樣，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的接受，但不取其不合理的運(yùn)算過(guò)程，這是數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)步，或是更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系(如《九章算術(shù)》)對(duì)非理性的運(yùn)算的篩選和過(guò)濾。
此外，《算數(shù)書》中的里田術(shù)還記載了另外一種轉(zhuǎn)換方式，有(又)曰：里乘里，里也，【因而三之】，以里之下即予廿五因而三之，亦其頃畝數(shù)也。忽略其三或五相乘的部分，最終其表示的是將三百七十五畝先化為三傾七十五畝，把三傾七十五畝按單位拆分為三傾+七十五畝。這樣在轉(zhuǎn)換平方里為傾-畝的單位時(shí)，分別拿平方里數(shù)乘以三傾和七十五畝，前者得到的結(jié)果單位是傾，后者得到的結(jié)果單位是畝。彭浩先生認(rèn)為這使得龐大的數(shù)字計(jì)算簡(jiǎn)化，并為《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》中身外加(減)法之先聲。固然對(duì)于以算籌計(jì)算大數(shù)據(jù)相乘是有很大不便，但是后一種方法也需要在乘以七十五畝之后，將得到的結(jié)果再轉(zhuǎn)化為傾-畝制，并與前一項(xiàng)以傾為單位者相加方可得到結(jié)果。
【參考文獻(xiàn)】
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