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韋達
韋達
韋達(韋達)
韋達最重要的貢獻是對代數(shù)學(xué)的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展。韋達用“分析”這個詞來概括當(dāng)時代數(shù)的內(nèi)容和方法。他創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系。給出三次方程不可約情形的三角解法。主要著有《分析法入門》、《論方程的識別與修正》、《分析五章》、《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》。
目錄 人物簡介 著作 其他成就 韋達定理 人物簡介弗朗索瓦·韋達（法語：Viete，F(xiàn)rancois，seigneurdeLa Bigotiere；1540年－1603年12月13日），法國數(shù)學(xué)家，十六世紀最有影響的數(shù)學(xué)家之一，被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。他是第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進的數(shù)學(xué)家。由于韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最杰出的數(shù)學(xué)家之一。 韋達1540年生于法國的普瓦圖[Poitou, 今旺代省的豐特奈 -勒孔特(Fontenay.-le-Comte)]。1603年12月13日卒于巴黎。年輕時學(xué)習(xí)法律并當(dāng)過律師。后從事政治活動，當(dāng)過議會的議員。在對西班牙的戰(zhàn)爭中，曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理”）。 韋達從事數(shù)學(xué)研究只是出于愛好，然而他卻完成了代數(shù)和三角學(xué)方面的巨著。他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579年）是韋達最早的數(shù)學(xué)專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數(shù)解平面和球面三角形方法的系統(tǒng)著作。他被稱為現(xiàn)代代數(shù)符號之父。韋達還專門寫了一篇論文"截角術(shù)"，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應(yīng)用到三角學(xué)中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數(shù)并給出當(dāng)n≤11等于任意正整數(shù)的倍角表達式了。
著作《分析方法入門》
《分析方法入門》是韋達最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號代數(shù)專著，書中第1章應(yīng)用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數(shù)學(xué)文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結(jié)合起來，認為代數(shù)是一種由已知結(jié)果求條件的邏輯分析技巧，并自信希臘數(shù)學(xué)家已經(jīng)應(yīng)用了這種分析術(shù)，他只不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足于丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創(chuàng)立一般的符號代數(shù)。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后來用過N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并將這種代數(shù)稱為本“類的運算”以此區(qū)別于用來確定數(shù)目的“數(shù)的運算”。當(dāng)韋達提出類的運算與數(shù)的運算的區(qū)別時，就已規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界。這樣，代數(shù)就成為研究一般的類和方程的學(xué)問，這種革新被認為是數(shù)學(xué)史上的重要進步，它為代數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路，因此韋達被西方稱為"代數(shù)學(xué)之父"。
《分析五章》
1593年，韋達又出版了另一部代數(shù)學(xué)專著—《分析五篇》（5卷，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年業(yè)已完成。其中得到一系列有關(guān)方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉里四次方程解法改進后的求解公式。 在《分析五篇》中韋達還說明怎樣用直尺和圓規(guī)作出導(dǎo)致某些二次方程的幾何問題的解。
《幾何補篇》
1593年他的《幾何補篇》（Supplementum geometriae）在圖爾出版了，其中給尺規(guī)作圖問題所涉及的一些代數(shù)方程知識。
其他成就此外，韋達最早明確給出有關(guān)圓周率π值的無窮運算式,而且創(chuàng)造了一套10進分數(shù)表示法，促進了記數(shù)法的改革。之后，韋達用代數(shù)方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發(fā)展成為解析幾何學(xué)。韋達從某個方面講，又是幾何學(xué)方面的權(quán)威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數(shù)點后9位，在相當(dāng)長的時間里處于世界領(lǐng)先地位。 韋達還專門寫了一篇論文"截角術(shù)"，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應(yīng)用到三角學(xué)中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的`函數(shù)并給出當(dāng)n≤11等于任意正整數(shù)的倍角表達式了。 韋達還探討了代數(shù)方程數(shù)值解的問題，1600年以《冪的數(shù)值解法》為題出版。
韋達定理韋達定理(Vieta's Theorem）的內(nèi)容
（根與系數(shù)的關(guān)系） 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中 設(shè)兩個實數(shù)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1*X2=c/a 用韋達定理判斷方程的根 若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數(shù)根 若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數(shù)根 若b^2-4ac<0 則方程沒有實數(shù)解
韋達定理的證明
一元二次方程求根公式為： 當(dāng)方程有實數(shù)根時 x=(-b±√b^2-4ac)/2a 則x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a） x1+x2=-b/a x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a） x1*x2=c/a 韋達定理 判別式、判別式與根的個數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達定理及其逆定理。
韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0 它的根記作X1,X2…,Xn 我們有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求積。 如果一元二次方程 在復(fù)數(shù)集中的根是，那么 由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在復(fù)數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積： 其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達定理。 法國數(shù)學(xué)家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。 韋達定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。
韋達定理推廣的證明
設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。 則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理） 通過系數(shù)對比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0==(-1)^n*An*ΠXi 所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求積。
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