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等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程
等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用G、P表示。下面為大家?guī)砹说缺葦?shù)列求和公式推導(dǎo)過程,歡迎大家參考!
等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程
求和公式推導(dǎo)
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)
(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
(4)a(n+1)=a1*q^n
(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)
性質(zhì)
、偃鬽、n、p、q∈N,且m+n=p+q,則am×an=ap×aq;
②在等比數(shù)列中,依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列;
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,則am×an=(aq)^2;
④若G是a、b的等比中項(xiàng),則G^2=ab(G≠0);
、菰诘缺葦(shù)列中,首項(xiàng)a1與公比q都不為零。
、拊跀(shù)列{an}中每隔k(k∈N*)取出一項(xiàng),按原來順序排列,所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為q^k+1。
、邤(shù)列{An}是等比數(shù)列,An=pn+q,則An+K=pn+K也是等比數(shù)列,在等比數(shù)列中,首項(xiàng)A1與公比q都不為零。注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
、喈(dāng)數(shù)列{an}使各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列{lgan}是lgq的等差數(shù)列。
拓展:高中等比數(shù)列公式
如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示。
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是:An=A1×q^(n-1)
若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時,則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù),點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。
(2) 任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項(xiàng):aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項(xiàng)。
(5) 等比求和:Sn=a1+a2+a3+.......+an
、佼(dāng)q≠1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
、诋(dāng)q=1時, Sn=n×a1(q=1)
記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一個各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個意義下,我們說:一個正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
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