數列極限的證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數列下標可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2

只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)

=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設x(k)<4，則

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

3

當0

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數列n*a^n，其極限為0

4

用數列極限的定義證明

3.根據數列極限的定義證明：

(1)lim[1/(n的平方)]=0

n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2

n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞ n個9

5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以后會學的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0

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