一级毛片免费不卡在线视频,国产日批视频免费在线观看,菠萝菠萝蜜在线视频免费视频,欧美日韩亚洲无线码在线观看,久久精品这里精品,国产成人综合手机在线播放,色噜噜狠狠狠综合曰曰曰,琪琪视频

均值不等式的證明

時(shí)間:2023-04-29 18:04:16 證明范文 我要投稿
  • 相關(guān)推薦

均值不等式的證明

均值不等式的證明

設(shè)a1,a2,a3...an是n個(gè)正實(shí)數(shù),求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡單的詳細(xì)過程,謝謝!!!!

均值不等式的證明

你會用到均值不等式推廣的證明,估計(jì)是搞競賽的把

對n做反向數(shù)學(xué)歸納法

首先

歸納n=2^k的情況

k=1 。。。

k成立 k+1 。。。

這些都很簡單的用a+b>=√(ab) 可以證明得到

關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法

如果n成立 對n-1,

你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已經(jīng)成立的n的式子里,整理下就可以得到n-1也成立。

所以得證

n=2^k中k是什么范圍

k是正整數(shù)

第一步先去歸納2,4,8,16,32 ... 這種2的k次方的數(shù)

一般的數(shù)學(xué)歸納法是知道n成立時(shí),去證明比n大的時(shí)候也成立。

而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下,對比n小的數(shù)進(jìn)行歸納,

指“平方平均”大于“算術(shù)平均”大于“幾何平均”大于“調(diào)和平均”

我記得好像有兩種幾何證法,一種三角證法,一種代數(shù)證法。

請賜教!

sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證明:

1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n

兩邊平方,即證 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n

(1) 如果你知道柯西不等式的一個(gè)變式,直接代入就可以了:

柯西不等式變式:

a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)

當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號成立

只要令b1=b2=...=bn=1,代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2

[競賽書上都有證明:空間向量法;二次函數(shù)法;是赫爾德不等式的特例]

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式: 若f(x)在定義域內(nèi)是凸函數(shù),則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx 顯然,lgx在定義域內(nèi)是凸函數(shù)[判斷凸函數(shù)的方法是二階導(dǎo)數(shù)<0,或從圖象上直接觀察]

nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an

也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(a1a2..an)

f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2..an)

(2)原不等式即證:a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

先證明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同號]≥0

2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...

≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重復(fù)操作n次]≥...≥2na1a2...an

即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)數(shù)學(xué)歸納法:但要用到 (1+x)^n>1+nx這個(gè)不等式,不予介紹

3.n次根號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即證:n次根號(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左邊=n次根號[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根號+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根號[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根號[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]

由2得 和≥n*n次根號(它們的積) 所以左邊≥n*n次根號(1)=n

所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證畢

特例:sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b

證明:

1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2 兩邊平方 a^2+b^2≥(a+b)^2/4 即證 (a/2-b/2)^2≥0 顯然成立

2.(a+b)/2≥sqrt(ab) 移項(xiàng) 即證 (sqrt(a)-sqrt(b))≥0 顯然成立

此不等式中 a+b可以表示一條直徑的兩部分,(a+b)/2=r sqrt(ab)就是垂直于直徑的弦,而r≥弦的一半

3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b 兩邊同時(shí)乘上 1/a+1/b 即證 sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2

而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2[由上一個(gè)不等式]。

【均值不等式的證明】相關(guān)文章:

不等式證明11-24

不等式的證明因1而精彩04-30

scbf(n)函數(shù)的均值04-28

素因數(shù)和函數(shù)(ω-)(n)及其均值04-28

監(jiān)測均值變動的多重控制圖方法04-26

方差未知時(shí)兩總體均值的比較04-30

關(guān)于不合格母體均值的合理確定04-30

基于均值濾波的灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用05-02

一個(gè)數(shù)論函數(shù)的均值問題04-26

基于替代與核實(shí)數(shù)據(jù)的均值估計(jì)04-26