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余弦定理的證明
余弦定理的證明在△ABC中,AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在銳角△中證明第一個(gè)等式,在鈍角△中證明以此類推。
過A作AD⊥BC于D,則BD+CD=a
由勾股定理得:
c^2=(AD)^2+(BD)^2,(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因?yàn)閏osC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
題目中^2表示平方。
2
談?wù)、余弦定理的多種證法
聊城二中 魏清泉
正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具,關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的,如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積,這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特,不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理,進(jìn)一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.
定理:在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,則
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的證明
證法一:如圖1,設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有
AD=bsin∠BCA,
BE=csin∠CAB,
CF=asin∠ABC。
所以S△ABC=abcsin∠BCA
=bcsin∠CAB
=casin∠ABC.
證法二:如圖1,設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC,
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
證法三:如圖2,設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓
的直徑,則∠DAC=90°,∠ABC=∠ADC。
證法四:如圖3,設(shè)單位向量j與向量AC垂直。
因?yàn)锳B=AC+CB,
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
因?yàn)閖AC=0,
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC,
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
二、余弦定理的證明
法一:在△ABC中,已知 ,求c。
過A作 ,
在Rt 中, ,
法二:
,即:
法三:
先證明如下等式:
⑴
證明:
故⑴式成立,再由正弦定理變形,得
結(jié)合⑴、 有
即 .
同理可證
.
三、正余弦定理的統(tǒng)一證明
法一:證明:建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系,則A=(0,0)、B=(c,0),又由任意角三角函數(shù)的定義可得:C=(bcos A,bsin A),以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′,則∠BAC′=π-∠B,
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根據(jù)向量的運(yùn)算:
=(-acos B,asin B),
= - =(bcos A-c,bsin A),
(1)由 = :得
asin B=bsin A,即
= .
同理可得: = .
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A,
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理:
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
法二:如圖5,
,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ,將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積,可知
,
即
將(1)式改寫為
化簡得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
這里(1)為射影定理,(2)為正弦定理,(4)為余弦定理.
參考文獻(xiàn):
【1】孟燕平?抓住特征,靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學(xué)通報(bào)2003年第11期.
【2】《中學(xué)生數(shù)學(xué)》(上)2000年3月上
【3】《數(shù)學(xué)(必修5)》人民教育出版社
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