綜合法證明不等式

若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號(hào)ab

令T=根號(hào)ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根號(hào)ab>=3，

故，ab>=9 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號(hào))

已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，用綜合法證明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

證明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的兩邊相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.證完

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對(duì)滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴l(xiāng)g(a^2+1)

2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對(duì)滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化為

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值范圍是(-∞，4]。

綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過(guò)的不等式來(lái)進(jìn)行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項(xiàng)得 .綜合法的證明過(guò)程表現(xiàn)為一連串的“因?yàn)椤�…所以……”，可用一連串的“ ”來(lái)代替.

綜合法的證明過(guò)程是下一節(jié)課學(xué)習(xí)的不等式的證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過(guò)程的逆推，而分析法的證明過(guò)程恰恰是綜合法的思考過(guò)程。 實(shí)際上在前面兩個(gè)重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當(dāng)中，我們已經(jīng)運(yùn)用了綜合法，但當(dāng)時(shí)只是沒(méi)有提出或采用這個(gè)名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當(dāng)中，故例題只有一個(gè)，是運(yùn)用平方不等式來(lái)作為基礎(chǔ)工具。

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