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初中幾何證明
初中幾何證明因?yàn)锳BCD菱形
所以AD=DC 角cdb=角adb
因?yàn)锳P=AP
所以DCP全等 DAP
所以PC=PA AP=PC 角DCP=角DAP
2因?yàn)锳BCD菱形
所以DF平行ap
所以角BAP=角F
因?yàn)?角DCP=角DAP
所以角PCE=角BAP
所以角F=角PCE
因?yàn)榻荂PE=角 CPF
所以三角形PCE相似于三角形PFC
因?yàn)镻C=AP
所以AP2=PEXPF
2
CE=EF=4
證明：
因?yàn)椋篊E⊥AD
所以：
因?yàn)椋篈D平分∠CAB
所以：
在三角形AEC和三角形AEF中
AE=AE
所以：三角形AEC全等于三角形AEF
所以:CE=EF
因?yàn)�，∠ACB=90°，CE⊥AD
所以：三角形ACE相似于三角形DEC
所以：CE*CE=AE*AD=16
所以：CE=4
所以:CE=EF=4
3
D是RtΔABC的斜邊BC上一點(diǎn)，且ΔABD與ΔACD的內(nèi)切圓相等，S表示RtΔABC的面積。求證:S=AD^2。
對于任意ΔABC，D是邊BC上一點(diǎn)，如果ΔABD與ΔACD的內(nèi)切圓相等，則有
AD^2=[(CA+AB)^2-BC^2]/4 (1)
下面先證這一命題。設(shè)AD=x，則
BD/CD=S(ABD)/S(ACD)=(AB+x+BD)/(CA+x+CD) (2)
由余弦定理得:
BD/CD=(x^2-AB^2+BD^2)/(-x^2+CA^2-CD^2) (3)
又BD+CD=BC (4)
根據(jù)以上三式，可推得(1)式.
因?yàn)棣BC是直角三角形，BC為斜邊，由勾股定理得:
BC^2=CA^2+AB^2， (5)
又RtΔABC的面積S=CA*AB/2。 (6)
根據(jù)(1)，(5),(6)式得:
AD^2=[(CA+AB)^2-BC^2]/4=CA*AB/2=S
4
證明 設(shè)S1,S2分別表示ΔABD與ΔACD的面積.
作DE⊥AB于E，DF⊥CA于F。設(shè)AB=c,CA=b，BD=n,CD=m。
由相似三角形知:
DE=nb/(n+m), DF=mc/(n+m)，
在RtΔADE中，由勾股定理得:
AD^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。
因?yàn)棣BD與ΔACD的內(nèi)切圓半徑相等,即
2S1/(AD+c+n)=2S2/(AD+b+m)
且S1:S2=n:m，
有n/(AD+c+n)=m/(AD+b+m)
<==> AD(m-n)=nb-mc
若m=n，則得 b=c，S=AD^2 顯然成立。
若m≠n，則
(nb-mc)^2/(m-n)^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。
<==> n^2*b^2+m^2*c^2=bc*(n+m)^2/2,
即得 S=AD^2。
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