一維熱傳導方程的maple模擬

第

卷 第 期 年 月 出版

大 學

物

,

理

實

驗

司

文 章編 號

一

四

】

一

以拍礴 一

一 維 熱 傳導 方 程 的

王 家駒

安徽師范大學 蕪 湖

, ,

模擬

的

,

摘

?

要

熱 傳 導 方 程 是一 種偏 微 分方 程

,

。

對 于 有 界 熱傳導齊次方 程 的 混 合 問題 用 分

,

離變盈 法 求解往 往 很 復雜 也 很 抽象

理 意義 本 文用

,

。

為 了更好 的理 解方 程 的解 更直 觀 的看 出它 的 物

。

。 喇 軟件將方 程的解用圖 像表 示 出來 先 用 戶刻

, ,

函 數求解 方 程 再

,

。 用功

函 數 進 行繪 圖 通 過 改變邊界條件 比較 了 圖 形 的變 化 份 況

,

。

從結 果 可 以 看 出

耐 軟件對 于 熱傳 導 方程 求解和繪 圖十分簡便 也很 直觀

好 的應 用

關健詞

。

。

在物 理 教學 中可 以 得 到很

熱傳 導 方程 一 維

一

中圈 分 類 號 以

文獻 標識 碼

引言 由于 溫度分布不 均 勻 熱 量從介 質 中溫 度 高 的 地 方 流 向 溫 度 低 的 地 方 稱 為熱 傳 導

,

。

在 數學上 描述 熱傳導 規(guī) 律 的 方樣 稱為熱傳導方 程 它 是研 究拋 物線 刑方 程 的模利

,

,

。

為便

。

于 我們討論 考 慮 一 個簡化 的模 型 一 根均 勻 細 桿 內熱量 傳播 的過程

,

。

設 細 桿橫截 面 積為

,

常數

的情 況

,

細 桿 的密 度 為

,

,

比熱 為

,

,

它的側 面 絕 熱 也 就是 熱量 只 沿 著 它 的 長度方 向傳 導

,

因 為細 桿 很 細 所 以 在任何 時 刻 都 可 以 把 橫 截 面 積 上 的 溫 度 視 為相 同 也 就是 一 個 一 維

。

軸正 合 以 法來 導出熱傳導 方 程 也 就 是 函 數

我們取細桿 與

,

,

,

“

,

勸表示

,

點 在時刻 的溫 度 可 以 用 微元 分析 的方 所 滿 足 的偏微分方 程 考 慮在 時 間間隔 到

。 。

。

△ 內 細桿上

到

,

念 微 元段 熱量流動情 況

,

此 時 滿 足 熱平衡 則 引起 溫 度變化所 吸 取 的 熱 量

△

等于 流 人 的熱量

十

△’

,

微元 段 的質 量 為產 川 △ 而 且 在 時 間

一 “

,

△

,

,

,

內微 元 段

,

△

溫 度升 高為 武

,

十

△

‘

二 。

△,

,

其中

。

二 。、

,

,

‘

、

。

二

△ 所 以 引起 微 元 段 公

△

溫 度升

高所 需 的熱量為

為 △口

二 一

△

二 。

泌△

,

“

△

秘

△ △

,

二

由熱傳導 理 論 中的傅立 葉定律 可 知在 爾 時 間 內 沿

加

。

,

軸 正 向流 過

截 面 的熱量

△ 認

約肥 其 中

稱 為熱傳 導 系 數

。

式 中 的 負 號 表 示 熱量從 高溫 處 向

低 溫 處 流動

收稿 日期

一

一

另外在 △‘ 時間 內 流過 △ ,

,

△ 截 面 的熱 量 △

為△

二

一

,

△,

。

則

△

流入 微元段【

,

,

二

△

的 」熱

,

△ ’ 于通過 等 △

,

,

截面 流 人 微 元 段 的

熱里減 去 通 過

二

“ 從〔

, ,

截面 流出徽 元 段 的熱 量 則 △

中直定理 可 得 △ ’ 加

再由 △

“。

,

一

△

二

△二 習 一 氣 ‘

,

,

△ 〕 由

,

二

“

△ △

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其中 、

,

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,

右

,

△

,

,

。

二

△

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得

州‘

△

令△ ,

‘ 。 從而 今

‘

,

于是得

“

一

其中

一

此 即熱傳導 方程

,

。

在討論 熱傳導方 程時 已 知條件是 通 過 定解條件 的方式給 出的 從物 理 上 知道 只要

,

,

側 出物體上 初始 時 刻 的 溫度分布 和邊界 上 的溫 度或熱交換情 況 就 可 以 了 也 就 是 給 出初

,

始條件和邊界 條件

。

細 桿初 始條件 的提 法 為

,

。

,

二

,

二

。

其邊界 條件 的 提法 通 常有 三 種 即

第一 邊界 條 件 已 知細 桿端點 比如

, ,

二

的溫 度

二

,

“

,

二

。,

產

,

第二 邊界 條 件 已 知通 過 細 桿端點 比如

, , ,

,

的 熱盤

,

,

二 。

二 與某 種 介質接觸 它們 之間按 熱傳導 中 的牛 頓實驗定 第三 邊界 條件 已 知端點 , 二 , 加 為 已 知函 律 進行著熱交換 其邊界 條件為 加 其中 產

,

,

數

,

為熱傳導系數

,

為熱交換 系數

,

。

對于 無 界熱傳導 問題我們考 慮 熱傳導方程 的初 值 問題 對 于 有 界 熱傳 導 間題 我們考

,

慮熱 傳導方程的混 合 問題 本 文 主要 討論混 合 問題 的情 況

。

比 軟件介 紹

國 內在 應用

比 軟件上 很 多

一 ’ ‘

,

由 于 其 簡 單易 學 使 用 方 便 因 而 得 到 了 廣 泛 的

,

,

應用

。

軟件 主要 有 二 個 部分 組 成 用 戶 界 面

城 代數運 算 器

、

、

外部 函 數庫

玩

函數

。

斗

。

求解 代數 方程 或 代數方程 組 使 用

中偏微 分 方程求 解 器 為

壇中

, ,

,

中的

函 數 求 解 常微 分方程 使 用 刻

,

該 函 數 及 其 它偏微 分 方科求 解 工 具 存 于 軟

。

件包

。

函 數 訓助

能夠 很 快 的 辨認 出用 標 準 方 法 能 否 求偏 微分 方 程 的類 刑

,

如果 判別不 出 那 岡助

, ,

采用 一 種 啟 發(fā) 式 的 算 法 嘗 試 偏微 分 方 程按 特 征 結 構 分 離 出 來

的 策 略就 去 尋 找 給走 偏微 分方 村 的 通 解 尋找 不 到 通 解則 尋 找 可 以 完 全 分離 的 變

重 同此 該 函 數 返 問 的結果 可 能 為

通解

,

近 似 的通 解 即 包 含 任意 函 數但 又 不足 以 得到通 解 的解

。

,

變量 分離 的 非禍合 的常微 分方程 如也 無 法 完 全 分離變量 則函 數會 再 次 調 用 自身 如 還 是人 敗 就會 返 回 未完 全 分離

,

,

的變

同時給 出一 個 警告 信息 其命令 格 式 為

岡助

,

其中

、

,

為偏微 分 方 程

。

,

為被求 解 函 數

。

即卜 所 提 供 的二維 繪 圖 指令

可 以 繪 制 二 維 的 函 數 圖 參

數 圖 極 坐 標 圖 等 高線

,

、

、

、

圖 不 等式 圖 等等

而 三 維 空 間 的繪 圖 比 二 維 空 間 更 有 變化性 和 趣味 性 其命 令 函 數 為

一

一

可 直接調用

,

,

,

。

命令格式 如下

,

, ,

、

,

‘

,

,

,

…

心 刀“

一

?

其中

‘

。

二

為

的 變化 推

甘 首 先 根 據 不 同 的 邊界條 什 編寫 樣 序 就 用 是 卿 語 言描述熱傳導 方程及 相應 的邊 函 數 描繪 出二 維 圖形 界條 件 然 后 http://http://m.oriental01.com/news/55B09F202C1CA31B.html用 阮 函 數 求解方程 最后 角 肉

,

,

處 理 次 間題 的 大 致 思 路 為

。

,

閏噸 , 、燦 林

、

一

?

耐

,

,

二

加 刀價 二 ” 比

,

叩‘

。

為

,

即

的變化范 圍

。

腳

。

”

,

。

圖形 模 擬

根據不 同 的定解 條件對“ 雄熱傳導方程進行模 擬

況

。

。

可 以 直觀 地 看 出熱

。

的 變 化情

為討論 方便 令

,

�！� 二

礦 、 中 。 二 ‘ 細 將的長 度 卜

,

細 桿兩 端 點 的溫 度 已 知 細 桿 兩 端 點釣 溫 度為定 值

若兩 端點溫 度都 為

腸正 二 “

。

,

,

方程 為

二 二

,

,

。

。

,

用 幽禪 對 此 方程進行模 擬 的 圖 像為 圖

。,

圖 皆見 圖

。

若一 端點 溫 度為

腸‘ 二 。

,

,

一 端點 溫 度 為

,

方 稗為

“

二

,

,

,

二

二

,

用幽

對 此 方程進 行模擬 的圖 像為圖

,

。

由上 兩 圖可 以 看 出 一 兩 端點 溫 度 確定 時 細 桿 兩 端最終 溫 度 就 為端點 的 溫 度 而 桿 上 各

,

,

點溫 度成線性 分布

。

細桿兩 端 點的溫 度不 確定

如其中有一 端 點 溫 度 為

移 二 腸目

,

,

,

方程 為

。

,

二

,

二

用伽

對 此 方 程進 行模 擬 的圖像 為 圖

, ,

。。

,

由圖 可 見 一 端 點 溫 度 是 時 間

的 函 數時 那最 終此 端 的溫 度也 隨 這 個 函 數變化

,

,

。

所 以 當細桿 兩 端點 的 溫 度 已 知時 無 論初 始條 件 如何 桿 兩 端 的溫 度 由端點 的 溫 度

決定 細桿 上 各 點 溫 度 也 由兩 端 點溫 度 決定 由高溫 端 向低 溫 短 遞 減

,

,

。

小結

本文是用

月 軟 件來模擬 一 維熱傳 導 方 程 的解 的分布 將 邊 界 條件劃 分 為 二 種

,

。

細桿兩 端 的溫 度 已 知 通 過 細 桿 的 熱量 已 知 通 過 細 桿 的熱量為溫 度 的 函 數

,

。

根 據 不 同的

一

一

情況 進 行 側叩 】模擬 我 們看 出 恤叩

,

軟 件模 擬 出來的圖形 可 以 直觀 的描述熱傳導方程 解

, , ,

的分布情 況 可 以 深 刻 的理 解熱 傳導 方程 的 物理 意義 可 以 清楚的體現不 同的邊 界 條件對

,

解的影 響

。

總之 瀏舊

。

軟 件操 作簡單 描繪 出的圖形直觀 易位 使得 它在 教學 中可 以 得 到

很好 的應 用

參考 文 獻

〔

【 幻 【 【

張星 輝 在大學 物理 教 學 中使用

, ,

’ 流

制作 圖像和 動畫 的幾 個實例 〔〕大學 物 理

月濟

,

,

以”

黃水 金 余 守憲 關 于 加加速度 的若十機 械 運 動分析及 郭冰瑩 吳 敏鍵 用

, ,

。

棋擬【 〕大學 物 理 加

。

計算 機 代數 系 統實行 電動 力 學 教 學 改 革 的 一 個 嘗 試 〔

、

,

大學 物理

,

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郭冰瑩 在 有 限差分法 解 二 維 電勢 邊 值 問題 的應 用 探討 〔 大學物理 卯

,

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