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《等差數(shù)列前n項和的公式》教案
作為一名教師,時常需要用到教案,借助教案可以恰當?shù)剡x擇和運用教學方法,調動學生學習的積極性。教案應該怎么寫才好呢?以下是小編為大家收集的《等差數(shù)列前n項和的公式》教案,供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。
教學目標
A、知識目標:
掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法;掌握公式的運用。
B、能力目標:
。1)在探索和發(fā)現(xiàn)公式的過程中,培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力,并促進知識的生成與發(fā)展。
(2)通過巧妙的思維策略,引導學生根據(jù)觀察、嘗試、分析和類比等實踐活動,從特殊情況逐步推導出一般規(guī)律,以培養(yǎng)他們的類比思維能力。這樣的過程能幫助學生自主發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的求和公式,并更好地理解其背后的數(shù)學原理。
。3)通過多角度、多側面的分析公式,可以培養(yǎng)學生靈活思維,并提升他們分析和解決問題的能力。
C、情感目標:(數(shù)學文化價值)
。1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中,從而使學生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
。2)通過公式的運用,樹立學生"大眾教學"的思想意識。
(3)通過引入生動的、具體的現(xiàn)實問題,探索數(shù)學史中那些引人入勝的故事,激發(fā)學生對于探究數(shù)學的興趣和渴望,培養(yǎng)他們追求真理的勇氣和自信心,鞏固學生在學習數(shù)學過程中的積極心理經(jīng)驗,培養(yǎng)他們對數(shù)學的熱愛情感。
教學重點:等差數(shù)列前n項和的公式。
教學難點:等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。
教學方法:啟發(fā)、討論、引導式。
教具:現(xiàn)代教育多媒體技術。
教學過程
一、創(chuàng)設情景,導入新課。
師:經(jīng)過幾節(jié)課的學習,我們已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義、通項公式以及相關性質。今天我們將進一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提到數(shù)列求和,就會自然想到德國著名數(shù)學家高斯的“神速求和”故事。當時小高斯上小學四年級,一次老師布置了一個數(shù)學習題:“將1到100的自然數(shù)相加,結果是多少?”只有10歲的小高斯稍作思考就得出了答案5050,這讓老師非常吃驚。那么高斯是如何巧妙計算出來的呢?如果你們能理解他那種巧妙的計算方法,那么你們就是二十一世紀的新高斯。(老師觀察學生表情后,將問題縮小為十分之一)。現(xiàn)在我們來看一個例題。
例1,計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計算以外,還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后,讓學生自行發(fā)言解答。
生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個11,得到55。
生2:可設S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律,又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個
所以我們得到S=55,即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師:高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法,和上述兩位同學的方法相類似。
理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學們想一下,上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質呢?
生3:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.
二、教授新課(嘗試推導)
師:已知等差數(shù)列的第一項為a1,項數(shù)為n,最后一項為an。根據(jù)等差數(shù)列的性質,我們可以推導出它的前n項和Sn的計算公式。首先,我們知道等差數(shù)列的通項公式為:an = a1 + (n-1)d其中,d為等差數(shù)列的公差。接下來,我們將等差數(shù)列的所有項按照相反的順序排列,并將原數(shù)列與反向數(shù)列相加,得到一個新的等差數(shù)列,每一項都是a1+an。例如,對于等差數(shù)列a1, a2, a3, ..., an,與之對應的反向數(shù)列為an, an-1, ..., a1。將兩個數(shù)列按位相加,得到新的等差數(shù)列2a1+d, 2a2+d, 2a3+d, ..., 2an+d。將兩個數(shù)列的每一項分別相加,得到:(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2(a1+a2+a3+...+an) + nd由于等差數(shù)列的前n項和Sn表示為a1+a2+a3+...+an,所以我們可以將上述等式改寫為:(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2Sn + nd進一步整理得:2Sn + nd = n(2a1 + (n-1)d)化簡可得:Sn = n/2 * (a1+an)因此,等差數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為Sn = n/2 * (a1+an)。感謝同學們的參與,現(xiàn)在請一位同學來板演推導過程。
生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
師:好!如果已知等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面(I)、(II)這兩個式子可以被稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的,我們可以觀察到它與梯形面積公式(上底下底)×高÷2相似。在這里,等差數(shù)列中的首項a1代表了梯形的上底,第n項an代表了梯形的下底,而項數(shù)n則代表了梯形的高。通過這種類比,我們可以引導學生進行總結:這些公式中涉及了幾個量?(a1,d,n,an,Sn),它們之間有哪些關系?[an=a1(n-1)d,Sn=na1d];另外,這些量中有幾個是可以自由變化的?(三個)從而可以得知:只要我們知道其中任意三個量,就可以求解出其他兩個量。接下來,我們將舉一些例子來說明公式(I)和(II)的一些應用。請您謝謝!
三、公式的應用(通過實例演練,形成技能)。
1、直接代公式(讓學生迅速熟悉公式,即用基本量觀點認識公式)例2、計算:
。1)1+2+3+......+n
。2)1+3+5+......+(2n-1)
。3)2+4+6+......+2n
。4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請同學們先完成(1)-(3),并請一位同學回答。
生5:直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得
。1)1+2+3+......+n=
。2)1+3+5+......+(2n-1)=
(3)2+4+6+......+2n==n(n+1)
師:第(4)小題數(shù)列共有n項。該數(shù)列是否為等差數(shù)列需要根據(jù)給出的信息進行判斷,而在題目中并沒有給出具體的數(shù)列項或規(guī)律,所以無法確定它是否為等差數(shù)列。不能直接運用Sn公式求解,因為Sn公式是用來求解等差數(shù)列前n項和的公式,需要知道數(shù)列的首項、末項和項數(shù)才能使用該公式計算。如果無法確定數(shù)列是否為等差數(shù)列,可以嘗試找出數(shù)列的通項公式,然后根據(jù)題目給出的條件計算出具體的數(shù)列項。如果無法找到通項公式,可以逐項計算數(shù)列的項。
生6:(4)中的數(shù)列共有2n項,不是等差數(shù)列,但把正項和負項分開,可看成兩個等差數(shù)列,所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7:上題雖然不是等差數(shù)列,但有一個規(guī)律,兩項結合都為-1,故可得另一解法:
原式=-1-1-......-1=-n
n個
師:非常好!在解題時我們應該仔細觀察,并尋找規(guī)律,通常能夠找到更好的方法。此外,在運用Sn公式時需要注意確切地確定等差數(shù)列的項數(shù),否則很可能會得出錯誤的答案。
例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。
生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4
又∵d=-2,∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4
a8+a9+a10=75,a1+8d=25
解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+=145
師:通過以上示例題,我們學習了等差數(shù)列的前n項和公式。該公式中包含了5個變量。當已知其中三個變量時,我們可以利用構建方程或方程組的方法來求解另外兩個未知變量(即已知三求二)。請同學們根據(jù)第三個例題自行編寫類似的練習題,作為本課外練習的內容。在下節(jié)課時,我們將進行交流和討論。
師:(繼續(xù)引導學生,將第(2)小題改編)
、贁(shù)列{an}等差數(shù)列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n
②是否一定非得求得a1,d呢?引導學生運用等差數(shù)列性質,用整體思想考慮求S10的值。
2、用整體觀點認識Sn公式。
例4,在等差數(shù)列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教師啟發(fā)學生解)
師:來看第(1)小題,寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?
生10:根據(jù)等差數(shù)列的性質,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。
師:是的!這個問題需要應用等差數(shù)列的性質來解決。根據(jù)已知的等式,我們無法直接求出a1,a16和d的值。但是我們可以利用等差數(shù)列的性質來計算出a1與an(第16項)的和。這種思路充分展示了解決數(shù)學問題時的整體思維能力。
師:由于時間有限,我們將對等差數(shù)列前n項和公式Sn進行深入分析,并引導學生通過觀察發(fā)現(xiàn)當d≠0時,Sn可以表示為n的二次函數(shù)。然后,我們會從二次(或一次)函數(shù)的角度來解釋Sn公式的意義,指引同學們在課外繼續(xù)思考這個問題。
最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題:
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于所有自然數(shù)n,都有Sn=。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由。
四、小結與作業(yè)。
師:接下來請同學們一起來小結本節(jié)課所講的內容。
生11:1、用倒序相加法推導等差數(shù)列前n項和公式。
2、用所推導的兩個公式解決有關例題,熟悉對Sn公式的運用。
生12:1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時,要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II),掌握知三求二的解題通法。
3、當已知條件不足以求解等差數(shù)列的首項a1和公差d時,我們需要仔細觀察,并靈活運用等差數(shù)列的性質,嘗試使用整體思維的方法來求解數(shù)列的第n項an。
師:通過以上幾個例子,我們可以看到在解題過程中靈活運用所學知識和性質的重要性。同時,我們也應該糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。在學習過程中,希望大家能夠成為一個有心人,積極主動地去發(fā)現(xiàn)更多的性質,并努力學習掌握它們。
本節(jié)所滲透的數(shù)學方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。
數(shù)學思想:類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
作業(yè):P49:13、14、15、17
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