平行線及平行公理

教學(xué)建議

1、教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)從實(shí)例中概括出平行線的概念，給出了平行線的記法和它的畫(huà)法，并引出了平行公理及其推論．

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是：平行公理及其推論．承認(rèn)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”的幾何是歐氏幾何，否則是非歐幾何．由此可見(jiàn)，平行公理在幾何中的地位十分重要．在教學(xué)時(shí)，學(xué)生可以從用直尺和三角板畫(huà)平行線的畫(huà)圖過(guò)程中，理解平行公理．特別是真正地體會(huì)到公理中的“有且只有”的意義．

本節(jié)難點(diǎn)是：理解平行線的概念以及由平行公理導(dǎo)出其推論的過(guò)程定義中的“在同一平面內(nèi)”的這個(gè)前提，是為了區(qū)別立體幾何中異面直線的情況．教學(xué)時(shí)只要學(xué)生能意識(shí)到，空間的直線還存在另一種不相交的情形的，即異面直線．

另外，從平行公理推導(dǎo)出其推論的過(guò)程，滲透了反證法的思想．初中學(xué)生難于理解，教材對(duì)反證法既不作要求，也不必提出反證法這個(gè)詞，只要把道理說(shuō)明白即可．

2、教法建議

（1）概念的引入：學(xué)生從教師創(chuàng)設(shè)的情景中，可以直觀地認(rèn)識(shí)平行線．從實(shí)例中，體會(huì)平行線在現(xiàn)實(shí)中是存在的，并且有它固有的屬性，因此很有必要認(rèn)真地研究它．當(dāng)然，我們首先要能深刻地理解它的定義．

（2）分析概念：教師可以舉一組圖形，幫助學(xué)生理解定義中強(qiáng)調(diào)的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件．初步形成

（3）掌握平行線的畫(huà)法：學(xué)生剛開(kāi)始接觸幾何，為降低難度，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，作圖時(shí)不要求學(xué)生寫(xiě)出已知，求做，證明等步驟，只要保留作圖痕跡．通過(guò)作圖的教學(xué)使學(xué)生能準(zhǔn)確而迅速地畫(huà)出幾何圖形，為今后的幾何學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

（4）平行公理及其推論

在學(xué)生畫(huà)圖的過(guò)程中，教師可以提出問(wèn)題，過(guò)直線外一點(diǎn)有幾條直線可以與已知直線平行呢？學(xué)生在動(dòng)手操作后，可以體驗(yàn)到公理的客觀存在性．并且可以讓有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同學(xué)，嘗試說(shuō)明平行公理推論的正確性，通過(guò)說(shuō)理，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo) 

1．了解平行線的概念，理解學(xué)過(guò)的描述圖形形狀和位置關(guān)系的語(yǔ)句．

2．掌握平行公理及推論，會(huì)用三角尺和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線；會(huì)用學(xué)過(guò)的幾何語(yǔ)句描述簡(jiǎn)單的圖形和根據(jù)語(yǔ)句畫(huà)圖．

3．通過(guò)畫(huà)平行線和按幾何語(yǔ)句畫(huà)圖的題目練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖能力．

4．通過(guò)平行公理推論的推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和進(jìn)行推理的能力．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．教師教法：嘗試法、引導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法．

2．學(xué)生學(xué)法：在教師的引導(dǎo)下，嘗試發(fā)現(xiàn)新知，造就成就感．

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

（－）重點(diǎn)

平行公理及推論．

（二）難點(diǎn)

平行線概念的理解．

（三）解決辦法

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)新知、練習(xí)鞏固的方法來(lái)解決．

四、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、三角板、自制膠片．

五、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1．通過(guò)投影片和適當(dāng)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，引入新課．

2．通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生積極思維，進(jìn)行反饋練習(xí)，完成新授．

3．學(xué)生自己完成本課小結(jié)．

六、教學(xué)步驟 

（－）明確目標(biāo)

掌握平行公理及其推論的應(yīng)用，能畫(huà)出平行線，會(huì)用幾何語(yǔ)句描述圖形的畫(huà)法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．

（二）整體感知

以情境引出課題，以生活知識(shí)和已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平行公理及其推論，并以變式訓(xùn)練強(qiáng)化和鞏固新知．

（三）教學(xué)過(guò)程 

創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：前面我們學(xué)習(xí)了兩條直線相交的情形，下面清同學(xué)們看投影片．觀察投影片中的鐵路橋梁以及立在路邊的三根電線桿，再請(qǐng)同學(xué)們觀察黑板相對(duì)的兩條邊和橫格本中兩條橫線，若把它們向兩方延長(zhǎng)，看成直線，它們還是相交直線嗎？

學(xué)生齊聲答：不是．

師：因此，平面內(nèi)的兩條直線除了相交以外，還有不相交的情形，這就是我們本節(jié)所要研究的內(nèi)容．（板書(shū)課題）

［板書(shū)］24．平行線及平行公理

【教法說(shuō)明】通過(guò)具體的實(shí)物和實(shí)物的圖形，使學(xué)生建立起不相交的感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)在頭腦中初步形成平行線的圖形．

探究新知，講授新課

師：在我們生活的周圍，平面內(nèi)不相交的情形還有許多，你能舉例說(shuō)明嗎？

學(xué)生：窗戶相對(duì)的棱，桌面的對(duì)邊，書(shū)的對(duì)邊……

師：我們把它們向兩方無(wú)限延伸，得到的直線總也不會(huì)相交．我們把這樣的直線叫做平行線．

［板書(shū)］在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．

【教法說(shuō)明】初中幾何必須重視幾何概念的直觀性，所以讓學(xué)生多觀察實(shí)物形狀，在形成了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)名稱，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的實(shí)在性，減少抽象性．

教師出示投影片（課本第74頁(yè)圖2–17）．

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，長(zhǎng)方體的棱 與 無(wú)論怎樣延長(zhǎng)，它們會(huì)不會(huì)相交？

學(xué)生：不會(huì)相交．

師：那么它們是平行線嗎？

學(xué)生：不是．

師：也就是說(shuō)平行線的定義必須有怎樣的前提條件？

學(xué)生：在同一平面內(nèi)．

師：誰(shuí)能說(shuō)為什么要有這個(gè)前提條件？

學(xué)生：因?yàn)榭臻g里，不相交的直線不一定平行．

【教法說(shuō)明】通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生觀察分析，自己得出結(jié)論，從而使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到平行線的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件的重要性．

教師在黑板上給出課本第73頁(yè)圖2–16．

講解：平行用符號(hào)“ ”表示，如圖直線 與 是平行線記作“ ”（或 ）讀作“ 平行于 ”（或 平行于 ）也就是說(shuō)平行是相互的．

【教法說(shuō)明】這里教師不必贅述，讓學(xué)生清楚平行線符號(hào)表示、讀法和記法就可以了，對(duì)于平行線的圖形經(jīng)常會(huì)使用變式圖形，不要總是橫平豎直的，以防形成思維定式．

師：請(qǐng)同學(xué)們思考，在同一平面內(nèi)任意畫(huà)兩條不同的直線，它們的位置關(guān)系只能有幾種情況，試畫(huà)一畫(huà)，同桌的可以討論．

學(xué)生：兩種．相交和平行．

由此師生共同小結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）

1．判斷正誤

（1）兩條不相交的直線叫做平行線．（ ）

（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩直線是相交直線．（ ）

（3）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定平行．（ ）

（4）一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，必把這個(gè)平面分為四部分．（ ）

2．下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、垂直、平行三種．

B．在同一平面內(nèi)，不垂直的兩直線必平行．

C．在同一平面內(nèi)，不平行的兩直線必垂直．

D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線一定不垂直．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生回答，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

【教法說(shuō)明】這組練習(xí)旨在鞏固學(xué)生掌握平行線定義及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，通過(guò)判斷（1）、（3）題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平行線的“在同一平面內(nèi)”的前提條件，通過(guò)判斷（2）、（4）題和選擇題使學(xué)生對(duì)兩直線位置關(guān)系，尤其是對(duì)垂直是相交的一種特殊情況有更深層的理解．

師：我們很容易畫(huà)出兩條相交直線，而對(duì)于平行線的畫(huà)法，我們?cè)谛�學(xué)就學(xué)過(guò)用直尺和三角板畫(huà)，下面清同學(xué)在練習(xí)本上完成下面題目（投影顯示）．

已知直線 和 外一點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 畫(huà)直線 ，使 ．

師：請(qǐng)根據(jù)語(yǔ)句，自己畫(huà)出已知圖形．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上畫(huà)出圖形．

師：下面請(qǐng)你們按要求畫(huà)出直線 ．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生能夠很快完成，然后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生在黑板上板演，其他學(xué)生觀察他的畫(huà)圖過(guò)程是否正確，然后師生一起訂正．

注意：（1）在推動(dòng)三角尺時(shí)，直尺不要?jiǎng)樱?/p>

（2）畫(huà)平行線必須用直尺三角板，不能徒手畫(huà)．

【教法說(shuō)明】畫(huà)平行線是幾何畫(huà)圖的基本技能之一，在以后的畫(huà)圖中常常會(huì)遇到，要求學(xué)生使用工具，不僅能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）．

1．畫(huà)線段 ，畫(huà)任意射線 ，在 上取 、 、 三點(diǎn)，使 ，連結(jié) ，用三角板畫(huà) ， ，分別交 于 、 ，量出 、 、 的長(zhǎng)（精確到 ）．

2．讀下列語(yǔ)句，并畫(huà)圖形

（1）點(diǎn) 是直線 外的一點(diǎn)，直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且與直線 平行．

（2）直線 、 是相交直線，點(diǎn) 是直線 、 外的一點(diǎn)，直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 與直線 平行與直線 相交于 ．

（3）過(guò)點(diǎn) 畫(huà) ，交 的延長(zhǎng)線于 ．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上按要求畫(huà)圖，并由兩個(gè)學(xué)生在黑板上畫(huà)第2題的（2）、（3）題，學(xué)生畫(huà)完后教師給出第1題的圖形（提前做好的投影片），請(qǐng)學(xué)生回答測(cè)量的結(jié)果，然后共同訂正第2題的（2）、（3）題．

【教法說(shuō)明】這組練習(xí)重點(diǎn)鞏固平行線的畫(huà)法及理解描述圖形形狀和位置關(guān)系的語(yǔ)句，能夠根據(jù)語(yǔ)句畫(huà)出正確圖形，注意要求學(xué)生用準(zhǔn)確的幾何語(yǔ)言反映圖形，同時(shí)真正理解幾何語(yǔ)言才能畫(huà)好圖形．

師：我們練習(xí)了過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線，請(qǐng)同學(xué)們回憶，過(guò)直線外一點(diǎn)能不能畫(huà)直線的垂線，能畫(huà)幾條？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，能畫(huà)，而且只能畫(huà)一條．

師：下面請(qǐng)你試一試，前面我們完成的過(guò)直線外一點(diǎn)與已知直線平行的直線可以畫(huà)幾條，想一想，你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，思考后總結(jié)出結(jié)論：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．

師：我們把這個(gè)結(jié)論叫平行公理，教師板書(shū)．

【板書(shū)】平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．

【教法說(shuō)明】學(xué)生對(duì)垂線的惟一性比較熟悉，通過(guò)對(duì)惟一性的回顧，學(xué)生能夠用類比的思想，把自己動(dòng)手得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論采用準(zhǔn)確的幾何語(yǔ)言描述出來(lái)，這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生善于類比的思想，同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生語(yǔ)言的規(guī)范性．

師：過(guò)直線外一點(diǎn)，能畫(huà)這條直線的惟一平行線，若沒(méi)有條件“過(guò)直線外一點(diǎn)”，問(wèn)你能畫(huà)已知直線的平行線嗎？能畫(huà)多少條？

學(xué)生：思考后，立即回答，能畫(huà)無(wú)數(shù)條．

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上完成．

（出示投影）

已知直線 ，分別畫(huà)直線 、 ，使 ， ．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上完成．

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，直線 、 能不能相交？

學(xué)生活動(dòng)：觀察，回答：不相交，也就是說(shuō) ．

師：為什么呢？同桌可以討論．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生積極討論，各抒己見(jiàn)．

【教法說(shuō)明】幾何的學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖能力，而且要求學(xué)生有過(guò)硬的分析能力，也就是說(shuō)理能力．初一幾何課是幾何課的起始課，從開(kāi)始就讓學(xué)生養(yǎng)成自己動(dòng)手、動(dòng)腦、思考、分析問(wèn)題的習(xí)慣，即加強(qiáng)幾何思維不慣的培養(yǎng)，這是個(gè)很重要的內(nèi)容．

學(xué)生活動(dòng)：教師讓學(xué)生積極發(fā)表意見(jiàn)，然后給出正確的引導(dǎo)．

師：我們觀察圖形，如果直線 與 相交，設(shè)交點(diǎn)為 ，那么會(huì)產(chǎn)生什么問(wèn)題呢？請(qǐng)同學(xué)們討論．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下思考、討論，得出結(jié)論．

師：同學(xué)們想得很好，因?yàn)?， ，于是過(guò)點(diǎn) 就有兩條直線 、 都與 平行，根據(jù)平行公理，這是不可能的，這就是說(shuō)， 與 不能相交，只能平行，由此我們得到平行公理的推論．

［板書(shū)］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．

師：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行的，那么不相交的兩條射線（或線段）也是平行的，對(duì)嗎？為什么？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考，回答：不對(duì)，給出反例圖形，

例如：如圖1所示，射線 與 就不相交，也不平行．

師：同學(xué)們想一想，當(dāng)我們說(shuō)兩條射線或線段平行時(shí)，實(shí)際上是什么平行才可以呢？

生：它們所在的直線平行．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（投影）

填空：∵ ， （已知），

∴________ _______（ ）．

學(xué)生活動(dòng)：口答．

【教法說(shuō)明】鞏固平行公理推論的掌握，同時(shí)讓學(xué)生清楚平行公理推論的符號(hào)語(yǔ)言，為今后進(jìn)行推理論證打好基礎(chǔ)．

變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力（出示投影）

選擇題

下列圖形都不相交，哪一個(gè)平行（ ）

【教法說(shuō)明】進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平行線的理解，尤其是平行的變式圖形．

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

師：今天我們學(xué)習(xí)了平行線，知道了同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系只有相交、平行兩種，完成下表：（出示投影）

學(xué)生活動(dòng)：表格中的內(nèi)容均由學(xué)生口答出來(lái)．

【教法說(shuō)明】通過(guò)學(xué)生完成表格，不僅回顧本節(jié)所學(xué)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)形成體系，從而更好地掌握知識(shí)．

八、布置作業(yè) 

（一）必做題

課本第96頁(yè)習(xí)題2.2Ａ組第3題（1）、（2）題．

（二）思考題

1．能直接利用定義判斷兩條直線是否平行嗎？

2．怎樣才能判斷兩條直線是否平行呢？

3．閱讀課本第76頁(yè)，“讀一讀”的觀察與實(shí)驗(yàn)，課下同學(xué)之間相互演示．

作業(yè) 答案

3.

(1) (2)

九、板書(shū)設(shè)計(jì) 

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