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提公因式法
教學(xué)設(shè)計(jì)
提公因式法(一)
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.
2.使學(xué)生理解提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式.
3.通過(guò)學(xué)生自行探求解題途徑,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力,深化學(xué)生逆向思維能力.
教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):
因式分解的概念及提公因式法.
教學(xué)難點(diǎn) :
正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.
教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì):
一、復(fù)習(xí)提問(wèn)
乘法對(duì)加法的分配律.
二、新課
1.新課引入:用類比的方法引入課題.
在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí),我們常常要進(jìn)行約分與通分,因此常常要把一個(gè)數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù)).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.
在第七章我們學(xué)習(xí)了整式的乘法,幾個(gè)整式相乘可以化成一個(gè)多項(xiàng)式,那么一個(gè)多項(xiàng)式如何化成幾個(gè)整式乘積的形式呢?這一章就是學(xué)習(xí)如何把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的方法.
2.因式分解的概念:
請(qǐng)學(xué)生每人寫出一個(gè)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的例子,并計(jì)算出其結(jié)果.(老師按學(xué)生所說(shuō)在黑板寫出幾個(gè).)
如:m(a+b+c)=ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.
再請(qǐng)學(xué)生觀察它們有什么共同的特點(diǎn)?
特點(diǎn):左邊,整式×整式;右邊,是多項(xiàng)式.
可見(jiàn),整式乘以整式結(jié)果是多項(xiàng)式,而多項(xiàng)式也可以變形為相應(yīng)的整式與整式的乘積,我們就把這種多項(xiàng)式的變形叫做因式分解.
定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).
整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.
讓學(xué)生說(shuō)出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系:同樣是由幾個(gè)相同的整式組成的等式.
區(qū)別:這幾個(gè)相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式,一個(gè)是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式,一個(gè)是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式.
例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)
(1)x2-x=x(x-1) (√)
(2)a(a-b)=a2-ab (×)
(3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)
(5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)
下面我們學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)的因式分解方法.
3.提公因式法:
我們看多項(xiàng)式:ma+mb+mc
請(qǐng)學(xué)生指出它的特點(diǎn):各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m,這時(shí)我們把因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
注意:公因式是各項(xiàng)都含有的公共的因式.
又如:a是多項(xiàng)式a2-a各項(xiàng)的公因式.
ab是多項(xiàng)式5a2b-ab2各項(xiàng)的公因式.
2mn是多項(xiàng)式4m2np-2mn2q各項(xiàng)的公因式.
根據(jù)乘法的分配律,可得
m(a+b+c)=ma+mb+mc,
逆變形,便得到多項(xiàng)式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc=m(a+b+c).
這說(shuō)明,多項(xiàng)式ma+mb+mc各項(xiàng)都含有的公因式可以提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
定義:一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多 項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
顯然,由定義可知,提公因式法的關(guān)鍵是如何正確地尋找公因式.讓學(xué)生觀察上面的公因式的特點(diǎn),找出確定公因式的萬(wàn)法:(1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù):(2)字母取各項(xiàng)的相同字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)例2 指出下列各多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式:
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.
分析:分兩步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.
先引導(dǎo)學(xué)生按確定公因式的方法找出多項(xiàng)式的公因式4ab2.
解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).
說(shuō)明:
(1)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)確定公因式的兩個(gè)條件以免漏。
(2)開(kāi)始講提公因式法時(shí),最好把公因式單獨(dú)寫出.①以顯提醒;③強(qiáng)調(diào)提公因式;③強(qiáng)調(diào)因式分解.
例4 把3x2-6xy+x 分解因式.
分析:先引導(dǎo)學(xué)生找出公因式x,強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式中x=x·1.
解:3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
=x(3x-6y+1).
說(shuō)明:當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)恰好是公因式時(shí),這項(xiàng)應(yīng)看成它與1的乘積,提公因式后剩下的應(yīng)是1,1作為項(xiàng)的系數(shù)通?梢允÷,但如果單獨(dú)成一項(xiàng)時(shí),它在因式分解時(shí)不能漏掉,這類題常常有些學(xué)生犯下面的錯(cuò)誤,3x2-6xy+x=x(3x-6y),這一點(diǎn)可讓學(xué)生利用恒等變形分析錯(cuò)誤原因.還應(yīng)提醒學(xué)生注意:提公因式后的因式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣,這樣可以檢查是否漏項(xiàng).
課堂練習(xí):(投影)
把下列各式分解因式:
(l)2πR+2πr;
(2)
(3)3x3+6x2;
(4)21a2+7a;
(5)15a2+25ab2;
(6)x2y+xy2-xy.
例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.
分析:此多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù),與前面兩例不同,應(yīng)先把它轉(zhuǎn)化為前面的情形便可以因式分解了,所以應(yīng)先提負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化,然后再提公因式,提"-"號(hào)時(shí),注意添括號(hào)法則.
解:-4m3+16m2-26m
=-(4m3-16m2+26m)
=-2m(2m2-8m+13).
說(shuō)明:通過(guò)此例可以看出應(yīng)用提公因式法分解因式時(shí),應(yīng)先觀察第一項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)用添括號(hào)法則提出負(fù)號(hào),此時(shí)一定要把每一項(xiàng)都變號(hào);然后再提公因式.
課堂練習(xí):(投影)
把下列各式分解因式:
(1)-15ax-20a;
(2)-25x8+125x16;
(3)-a3b2+a2b3;
(4)-x3y3-x2y2-xy;
(5)-3ma3+6ma2-12ma;
(6)
(三)小結(jié)
1.因式分解的意義及其概念.
2.因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.
3.公因式及提公因式法.
4.提公因式法因式分解中應(yīng)注意的問(wèn)題.
六、作業(yè)
教材 P.10中 1、2、3、4.
七、板書(shū)設(shè)計(jì)
提公因式法
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