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第二冊不等式證明
目的:以不等式的等價命題為依據(jù),揭示不等式的常用證明方法之一——比較法,要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。
過程:
一、復(fù)習(xí):
1.不等式的一個等價命題
2.比較法之一(作差法)步驟:作差——變形——判斷——結(jié)論
二、作差法:(P13—14)
1. 求證:x2 + 3 > 3x
證:∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2. 已知a, b, m都是正數(shù),并且a < b,求證:
證:
∵a,b,m都是正數(shù),并且a<b,∴b + m > 0 , b - a > 0
∴ 即:
變式:若a > b,結(jié)果會怎樣?若沒有“a < b”這個條件,應(yīng)如何判斷?
3. 已知a, b都是正數(shù),并且a b,求證:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數(shù),∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4. 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點(diǎn),甲有一半時間以速度m行走,另一半時間以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m n,問:甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)?
解:設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,
甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2,
則: 可得:
∴
∵S, m, n都是正數(shù),且m n,∴t1 - t2 < 0 即:t1 < t2
從而:甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。
變式:若m =n,結(jié)果會怎樣?
三、作商法
5. 設(shè)a, b R+,求證:
證:作商:
當(dāng)a =b時,
當(dāng)a > b > 0時,
當(dāng)b > a > 0時,
∴ (其余部分布置作業(yè) )
作商法步驟與作差法同,不過最后是與1比較。
四、小結(jié):作差、作商
五、作業(yè) : P15 練習(xí)
P18 習(xí)題6.3 1—4
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