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高職高等數(shù)學教學引入數(shù)學建模思想的探索論文
摘要：數(shù)學建模是為改變傳統(tǒng)高職高等數(shù)學教學中存在的內(nèi)容陳舊和理論脫離實際的缺陷而產(chǎn)生起來的課程，它著重于學生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)、知識的應用和創(chuàng)新。在高等數(shù)學教學中引進數(shù)學模型，滲透數(shù)學建模的思想與方法，不僅能大大激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高他們學習數(shù)學和應用數(shù)學的能力，而且能夠提升教師的教學水平，豐富現(xiàn)有的教學方法，拓寬課堂教學的內(nèi)涵，有效提高高等數(shù)學的教學質(zhì)量。
關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；高等數(shù)學；教學方法
高等數(shù)學是高職理、工、經(jīng)濟、管理等專業(yè)的一門必不可少的基礎課程，為其他專業(yè)課程的學習，以及將來的技術(shù)工作，奠定了必要的數(shù)學基礎。然而各類高職院校學生高等數(shù)學的學習情況卻不容樂觀，多數(shù)學生反映高等數(shù)學太難，數(shù)學課枯燥，成績不理想，有些學生甚至跟不上教學進度。要想改變這種狀況，高職院校必須對高等數(shù)學教學的傳統(tǒng)思想觀念和教學方法加以改革，教師不僅要教會學生一些數(shù)學概念和定理，更要教會他們?nèi)绾芜\用手中的數(shù)學武器去解決實際問題。數(shù)學建模就是將現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學模型所提供的解答來解釋和指導現(xiàn)實問題。數(shù)學建模對于提高學生運用數(shù)學和計算機技術(shù)解決實際問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力與實踐能力，培養(yǎng)團結(jié)合作精神，全面提高學生的素質(zhì)具有非常積極的意義。
一、在高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想的必要性
在高等數(shù)學教學中，幫助學生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并想辦法利用所學數(shù)學知識解決問題非常重要。在傳統(tǒng)的高等數(shù)學教學中，學生基本處于被動接受狀態(tài)，很少參與教學過程。教師在教學過程中常常把教學的目標確定在使學生掌握數(shù)學理論知識的層面上。通常的教學方法是：教師引入相關(guān)概念，證明相應定理，推導常用公式，列舉典型例題，要求學生記住公式，學會套用公式，在做題中掌握解題方法與技巧。當然，在高等數(shù)學教學中這些必不可少，但這只是問題的一個方面。目前，高等數(shù)學的題目都有答案，而將來面對的問題大多預先不知道答案，這就要讓學生了解如何用數(shù)學去解決日常生活中或其他學科中出現(xiàn)的實際問題，提高用數(shù)學方法處理實際問題的能力。
在高等數(shù)學課程教學中積極滲透、有機融合數(shù)學建模的思想方法，積極引導、幫助學生理解數(shù)學精神實質(zhì)，掌握數(shù)學思想方法，增強運用數(shù)學的意識，提高數(shù)學能力，對培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，全面提升教育教學質(zhì)量有著積極的實際意義。
二、在教學內(nèi)容中滲透數(shù)學建模思想和方法的探究
事實上，高等數(shù)學中很多概念的引入都采用了數(shù)學建模的思想與方法，比如，從研究變速直線運動的瞬時速度與曲線切線的斜率出發(fā)引入導數(shù)的概念，從研究曲邊梯形的面積出發(fā)引人定積分概念，從研究空間物體的質(zhì)量出發(fā)引入三重積分概念等。教師在講課過程中要適時、適當、有意識地加以引導，考慮到學生實際的數(shù)學基礎，在授課前應有針對性地結(jié)合現(xiàn)行教材的各個章節(jié)，搜集相關(guān)內(nèi)容的實例，盡可能將高等數(shù)學運用于實際生活。講授內(nèi)容時適當介紹相關(guān)的一些簡單模型，不僅能豐富大學數(shù)學的課堂內(nèi)容，而且能很好地活躍課堂氣氛，調(diào)動學生的學習積極性。以下就在高等數(shù)學實際教學中應用數(shù)學建模思想的實例加以說明。
1．微分方程
微分方程數(shù)學模型是解決實際問題的有力工具，在了解并掌握了常見的常微分方程的建立與求解后引人人口模型：人口增長問題是當今世界最受關(guān)注的問題之一。著名的馬爾薩斯模型是可分離變量的微分方程，很容易求解，其解說明人口將以指數(shù)函數(shù)的速度增長。該模型檢驗過去效果較好，但預測將來問題很大，因為它包含明顯的不合理因素。這源于模型假設：人口增長率僅與人口出生率和死亡率有關(guān)且為常數(shù)。這一假設使模型得以簡化，但也隱含了人口的無限制增長。Logistic模型也是可分離變量的微分方程。該模型考慮了人口數(shù)量發(fā)展到一定水平后，會產(chǎn)生許多影響人口的新問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等，此外，隨著人口密度的增加，傳染病增多，死亡率將上升，所有這些都會導致人口增長率的減少，根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律，對馬爾薩斯模型作了改進。作為中長期預測，Logistic模型要比馬爾薩斯模型更為合理。 另外，微分方程模型還有很多，例如與生活密切相關(guān)的交通問題模型、傳染病模型等。
2．零點定理
閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)理論性較強，嚴格的證明在一般的高等數(shù)學教材中均略去。零點定理是其中易于理解的一個，該定理有很好的幾何直觀。但其應用在教學中也僅限于研究方程的根的問題�！胺阶绬栴}”：四條腿長度相等的方桌放在不平的地面上，四條腿能否同時著地？這個問題是日常生活巾遇到的實際問題，在一定的假設條件下，該問題可抽象為數(shù)學問題。通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用零點定理便可得問題答案是肯定的。教學中還可提出若桌子是長方形的，是否結(jié)論還成立？利用這個模型，學生們不僅了解了數(shù)學建模的過程，很好地掌握了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，而且提高了學習高等數(shù)學的積極性。
此外，與生活實際相關(guān)的拉橡皮筋問題、巧切蛋糕問題、登山中的上山下山問題都可歸結(jié)為零點定理來建立數(shù)學模型。這些模型的建立，對于學生消化理解零點定理甚至介值定理都有很大的益處。
3．極值與最值問題
最值問題是實際生活中經(jīng)常碰到的問題，用導數(shù)解決實際生活中的最值問題是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，學好導數(shù)，重視導數(shù)應用是學好高等數(shù)學基礎。在講完導數(shù)應用的理論內(nèi)容后，引人“光學中的折射定理”：光在由一種介質(zhì)進人另一種介質(zhì)時，在界面處會發(fā)生折射現(xiàn)象。折射現(xiàn)象造成的結(jié)果是所謂的“最短時間”效應，即光線會走最短的路徑。經(jīng)過一定的條件設定，這樣最短時間效應對應的優(yōu)化問題為求傳播時間的最小值問題，經(jīng)計算可得光學中著名的折射定理。該定理是學生在高中物理中學習過的重要定理，通過建立數(shù)學模型，并利用導數(shù)問題加以解決，加深了學生對折射定理的認識，并進一步理解導數(shù)應用問題。
另外，運輸問題、森林救火費用最小問題、最佳捕魚方案問題等都是生活中的實際問題，這些問題模型的建立、解決都能使學生對導數(shù)應用起到加深理解的作用。
4．幾何概率
現(xiàn)實世界中充滿了不確定性，我們所研究的對象往往受到諸多隨機因素的影響，因此所以建立的數(shù)學模型涉及的變量是隨機變量，甚至變量間的關(guān)系也非確定的函數(shù)關(guān)系，這類模型稱為隨機模型。幾何概率模型就是涉及“等可能性”的概率問題。著名的蒲豐問題便是幾何概率的一個早期例子：平面上畫著一些平行線，它們之間的距離均為定值，向此平面投一長度小于平行線間距離的針，試求此針與任一平行線相交的概率。值得注意的是，通過對此問題建立概率模型，可以看到它與某個我們感興趣的量——圓周率有關(guān)，然后設計適當?shù)碾S機試驗，并通過試驗的結(jié)果來確定這個量。
隨著計算機的發(fā)展，按照蒲豐問題的思路建立起一類新的方法，稱為蒙特卡羅方法，并取得廣泛應用。約會問題也是幾何概型問題，即：兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，試求兩人能會面的概率。
合理安排理論教學恰當引入數(shù)學建模的思想和方法，主動引導學生運用所學數(shù)學知識去分析和解決實際問題，就能充分調(diào)動學生學習高等數(shù)學的積極性，讓學生發(fā)揮學習的主觀能動性，感受學習高等數(shù)學的樂趣。
三、在數(shù)學建�；顒又刑嵘龑W生的數(shù)學綜合素質(zhì)
數(shù)學建�；顒又饕瑪�(shù)學建模課程、數(shù)學建模培訓與競賽等。參加過數(shù)學建�；顒拥膶W生基本能通過采集、整理和分析數(shù)據(jù)與信息，找出量和量之間的關(guān)系，針對問題合理的假設將其轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，利用計算機對所建模型求解，最后對結(jié)果進行分析處理，檢驗和評價，從而解決問題，最終完成一篇或報告。數(shù)學建�；顒又嘏囵B(yǎng)了學生下面幾項能力：應用數(shù)學方法和思想進行綜合分析推理的能力（創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力）、數(shù)學語言與生活語言的互譯能力、查閱文獻資料并消化和應用的能力、使用計算機及相應數(shù)學軟件的能力、的撰寫能力和表達能力、團隊合作的能力。
開展數(shù)學建�；顒邮菨B透數(shù)學建模思想的最重要的形式，它既可以體現(xiàn)課內(nèi)課外知識的結(jié)合，又可以滿足普及建模知識與提高建模能力結(jié)合的原則，為培養(yǎng)學生綜合運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力提供了實踐平臺，有效地提升了學生的數(shù)學綜合素質(zhì)。
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