數(shù)學(xué)建模椅子問題論文

　　椅子能在不平的地面上放穩(wěn)

　　把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語言證明。

　　一、 模型假設(shè)

　　對椅子和地面都要作一些必要的假設(shè)：

　　1、 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸可視為一個點(diǎn)，四腳的連線呈正方形。

　　2、 地面高度是連續(xù)變化的，沿椅子的任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。

　　3、 對于椅腳的間距和椅子腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只同時著地。

　　二、模型建立

　　中心問題是數(shù)學(xué)語言表示四只同時著地的條件、結(jié)論。首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度80這一變量來表示椅子的位置。

　　其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個距離為0時，表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變量的函數(shù)。

　　由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為f，B、D兩腳與地面距離之和為g，顯然f、g0，由假設(shè)2知f、g都是連續(xù)函數(shù)，再由假設(shè)3知f、g至少有一個為0。當(dāng)0時，不妨設(shè)g0,f0，這樣改變椅子的位置使四只同時著地，就歸結(jié)為如下命題：

　　命題 已知f、g是的連續(xù)函數(shù)，對任意，f*g=0，且g00,f00，則存在0，使g0f00。

　　三、模型求解

　　將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換，由g00,f00可知g20,f20。令hgf，則h00,h20，由f、g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)定理，則存在0002使h00，g0f0，由g0*f00，所以g0f00。

　　四、評 注

　　模型巧妙在于用已知的元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉(zhuǎn)900并不是本質(zhì)的，同學(xué)們可以考慮四腳呈長方形的情形。