第八講 投影變換1.知識(shí)要點(diǎn)

（6）求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角

（7）求一般位置平面對(duì)投影面的夾角

（8）求投影面垂直面的實(shí)形

（9）綜合舉例

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角有三種方法：直角三角形法、換面法、旋轉(zhuǎn)法，我們只介紹前兩種方法，而且把直角三角形法看成是換面法的特例；求一般位置平面的實(shí)形需要兩次換面，我們分成兩步講解：求一般位置平面對(duì)投影面的夾角、求投影面垂直面的實(shí)形，

機(jī)械制圖圖紙的一般知識(shí)_第八講、投影變換

。

3.課前準(zhǔn)備

準(zhǔn)備教具和演示文稿。

4.教學(xué)內(nèi)容

（1）求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角

1)直角三角形法直角三角形法的原理如圖3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A點(diǎn)的Z坐標(biāo)差），AB為空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠BAD為直線AB和H面的夾角α，從投影圖可知ab和B、A點(diǎn)的Z坐標(biāo)差ΔZ，所以可畫(huà)出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，則aE為空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠baE為直線AB和H面的夾角α。若求AB和V面的夾角β，可用a’b’和B、A點(diǎn)的Y坐標(biāo)差ΔY為直角邊作直角ΔabF，則∠Fa’b’為直線AB和V面的夾角β。

2)投影變換法一般位置直線可經(jīng)過(guò)一次換面將其換成新投影面的平行線，在新投影面上的投影將反映空間直線對(duì)保留下來(lái)的舊投影面的夾角。例如若要求空間直線對(duì)H面的夾角α和實(shí)長(zhǎng)AB，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直線AB平行，則在由V1、H面組成的新投影體系中AB為正平線，且線段AB端點(diǎn)的Z坐標(biāo)不變，所以可由原投影求出直線在V1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。

圖3-26直角三角形法（制作動(dòng)畫(huà)）

圖3-27換面法的原理（1）（制作動(dòng)畫(huà)）

若要求直線對(duì)V面的夾角β，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直線AB平行，則在由H1、V面組成的新投影體系中AB為水平線，且線段AB端點(diǎn)的Y坐標(biāo)不變，所以可由原投影求出直線在H1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。

圖3-27換面法的原理（2）（制作動(dòng)畫(huà)）

（2）求一般位置平面對(duì)投影面的夾角

一般位置平面經(jīng)過(guò)一次換面可以變換為投影面的垂直面，所以可經(jīng)過(guò)一次換面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可換掉V面保留H面，將平面變換為新投影體系的正垂面，如圖3-28所示。為了將一般位置直線變換為投影面垂直面，要先在平面內(nèi)作一條水平線，X1軸和水平線的水平投影垂直，這樣就可將這條水平線積聚為一個(gè)點(diǎn)，從而將平面積聚為一條直線。同理，若要求β角，則換掉H面保留V面，需在平面內(nèi)作一條正平線，將正平線積聚成一個(gè)點(diǎn)。

（3）求投影面垂直面的實(shí)形

投影面垂直面經(jīng)一次換面可將其換成投影面平行，從而求出其實(shí)形，換面原理如圖3-29所示。一般位置直線可經(jīng)過(guò)兩次換面求出其實(shí)形，第一步先將一般位置直線換成投影面垂直線，第二次換面求出實(shí)形，。

圖3-28求一般位置直線對(duì)投影面的夾角（制作動(dòng)畫(huà)）

圖3-29求投影面垂直面的實(shí)形

（4）綜合舉例

[例1]已知物體的主視圖和俯視圖，分析物體上的平面對(duì)投影面的位置關(guān)系，想象物體的形狀，補(bǔ)畫(huà)出左視圖。（圖3-30）

【分析】首先想象其基礎(chǔ)形體，基礎(chǔ)形體為長(zhǎng)方體，由主視圖上兩條斜線知，在長(zhǎng)方體上用兩個(gè)正垂面切去左右兩個(gè)角，由左視圖上的斜線知，在長(zhǎng)方體上用一個(gè)側(cè)垂面切去上前方的一個(gè)角，最后切去一個(gè)矩形豎槽，豎槽和側(cè)垂面產(chǎn)生了交線。如圖3-31所示。補(bǔ)畫(huà)俯視圖時(shí)，要先畫(huà)長(zhǎng)方體的投影，左右的切角，再畫(huà)上前方的切角，后畫(huà)矩形豎槽。

圖3-30已知條件

圖3-31補(bǔ)畫(huà)俯視圖

［例2］求平面ΔABC和矩形P的交線，判斷可見(jiàn)性，補(bǔ)畫(huà)俯視圖。如圖3-32(a)所示。

第八講 投影變換1.知識(shí)要點(diǎn)

（6）求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角

（7）求一般位置平面對(duì)投影面的夾角

（8）求投影面垂直面的實(shí)形

（9）綜合舉例

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角有三種方法：直角三角形法、換面法、旋轉(zhuǎn)法，我們只介紹前兩種方法，而且把直角三角形法看成是換面法的特例；求一般位置平面的實(shí)形需要兩次換面，我們分成兩步講解：求一般位置平面對(duì)投影面的夾角、求投影面垂直面的實(shí)形。

3.課前準(zhǔn)備

準(zhǔn)備教具和演示文稿。

4.教學(xué)內(nèi)容

（1）求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的夾角

1)直角三角形法直角三角形法的原理如圖3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A點(diǎn)的Z坐標(biāo)差），AB為空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠BAD為直線AB和H面的夾角α，從投影圖可知ab和B、A點(diǎn)的Z坐標(biāo)差ΔZ，所以可畫(huà)出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，則aE為空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠baE為直線AB和H面的夾角α。若求AB和V面的夾角β，可用a’b’和B、A點(diǎn)的Y坐標(biāo)差ΔY為直角邊作直角ΔabF，則∠Fa’b’為直線AB和V面的夾角β。

2)投影變換法一般位置直線可經(jīng)過(guò)一次換面將其換成新投影面的平行線，在新投影面上的投影將反映空間直線對(duì)保留下來(lái)的舊投影面的夾角。例如若要求空間直線對(duì)H面的夾角α和實(shí)長(zhǎng)AB，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直線AB平行，則在由V1、H面組成的新投影體系中AB為正平線，且線段AB端點(diǎn)的Z坐標(biāo)不變，所以可由原投影求出直線在V1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。

圖3-26直角三角形法（制作動(dòng)畫(huà)）

圖3-27換面法的原理（1）（制作動(dòng)畫(huà)）

若要求直線對(duì)V面的夾角β，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直線AB平行，則在由H1、V面組成的新投影體系中AB為水平線，且線段AB端點(diǎn)的Y坐標(biāo)不變，所以可由原投影求出直線在H1面上的投影，

工程

《機(jī)械制圖圖紙的一般知識(shí)_第八講、投影變換》(http://m.oriental01.com)。投影變換的原理如圖3-27所示。

圖3-27換面法的原理（2）（制作動(dòng)畫(huà)）

（2）求一般位置平面對(duì)投影面的夾角

一般位置平面經(jīng)過(guò)一次換面可以變換為投影面的垂直面，所以可經(jīng)過(guò)一次換面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可換掉V面保留H面，將平面變換為新投影體系的正垂面，如圖3-28所示。為了將一般位置直線變換為投影面垂直面，要先在平面內(nèi)作一條水平線，X1軸和水平線的水平投影垂直，這樣就可將這條水平線積聚為一個(gè)點(diǎn)，從而將平面積聚為一條直線。同理，若要求β角，則換掉H面保留V面，需在平面內(nèi)作一條正平線，將正平線積聚成一個(gè)點(diǎn)。

（3）求投影面垂直面的實(shí)形

投影面垂直面經(jīng)一次換面可將其換成投影面平行，從而求出其實(shí)形，換面原理如圖3-29所示。一般位置直線可經(jīng)過(guò)兩次換面求出其實(shí)形，第一步先將一般位置直線換成投影面垂直線，第二次換面求出實(shí)形，。

圖3-28求一般位置直線對(duì)投影面的夾角（制作動(dòng)畫(huà)）

圖3-29求投影面垂直面的實(shí)形

（4）綜合舉例

[例1]已知物體的主視圖和俯視圖，分析物體上的平面對(duì)投影面的位置關(guān)系，想象物體的形狀，補(bǔ)畫(huà)出左視圖。（圖3-30）

【分析】首先想象其基礎(chǔ)形體，基礎(chǔ)形體為長(zhǎng)方體，由主視圖上兩條斜線知，在長(zhǎng)方體上用兩個(gè)正垂面切去左右兩個(gè)角，由左視圖上的斜線知，在長(zhǎng)方體上用一個(gè)側(cè)垂面切去上前方的一個(gè)角，最后切去一個(gè)矩形豎槽，豎槽和側(cè)垂面產(chǎn)生了交線。如圖3-31所示。補(bǔ)畫(huà)俯視圖時(shí)，要先畫(huà)長(zhǎng)方體的投影，左右的切角，再畫(huà)上前方的切角，后畫(huà)矩形豎槽。

圖3-30已知條件

圖3-31補(bǔ)畫(huà)俯視圖

［例2］求平面ΔABC和矩形P的交線，判斷可見(jiàn)性，補(bǔ)畫(huà)俯視圖。如圖3-32(a)所示。

【分析】由V面投影可知，P平面是正垂面，ΔABC是一般位置平面。兩平面的交線是一般位置直線，直線AC和P平面相交，交點(diǎn)K的V面投影為AC和P平面的V面投影的交點(diǎn)k’，水平投影在AC的水平投影上，所以，直線AC和P平面的交點(diǎn)可直接求出；線段BC和線段AB不與平面P相交，而矩形的左邊和ΔABC相交，設(shè)交點(diǎn)為L(zhǎng)，因左邊為正垂線，所以不能直接求出交點(diǎn)的投影，我們注意到交點(diǎn)L的V面投影和矩形左邊的V面投影重合，所以可利用平面上的點(diǎn)的已知一個(gè)投影求另一個(gè)投影的基本作圖求出其水平投影l(fā)，作圖方法見(jiàn)圖3-32（b）所示。俯視圖的可見(jiàn)性要從主視圖上看才能知道兩者的遮擋關(guān)系，首先交線的水平投影是可見(jiàn)的，且交線和可見(jiàn)和不可見(jiàn)的分界線，所以只要判斷一條交線和另一個(gè)平面的遮擋關(guān)系即可，如直線AC和P平面的焦點(diǎn)K將AC分為AK和KC兩段，AK的水平投影可見(jiàn)，KC的水平投影部分被P遮擋，其余類推。

圖3-32平面和平面互交（制作動(dòng)畫(huà)）

[例3]已知平面ABC、平面P和點(diǎn)K的兩面投影，過(guò)點(diǎn)K作直線KL，使KL平行于平面ABC和平面P。如圖3-33（a）所示.

【分析】平面P為鉛垂面，平面ABC是一般位置平面，所以兩平面的交線EF為一般位置直線。若要過(guò)K點(diǎn)作一條直線，既平行于平面ABC，又平行于平面P，則該直線必平行于兩平面的交線，所以先求出平面ABC和平面P的交線EF的兩投影，再過(guò)K點(diǎn)作EF的平行線KL，則KL即為所求。如圖3-33(b)所示。

[例4]完成四棱錐被兩平面切割后的俯視圖和左視圖。如圖3-34（a）所示。

【分析】由圖可知，四棱錐的底面是水平面，四個(gè)側(cè)面是一般位置平面。兩個(gè)截平面中一個(gè)是水平面，一個(gè)是正垂面。水平面和四個(gè)側(cè)面均相交，且交線平行與四棱錐底面的棱線，截?cái)嗝鏋槲暹呅危�水平截平面的水平投影反映�?shí)形，側(cè)面投影為一條直線段，所以只要求出右側(cè)棱和水平截平面交點(diǎn)的水平投影，然后作底面?zhèn)壤獾钠叫芯�，即可求出水平截?cái)嗝娴乃�平投影，根�?jù)寬相等即可求出其側(cè)面投影；正垂截平面只和兩個(gè)側(cè)面相交，截?cái)嗝鏋槿�角形，兩個(gè)截平面的交線為正垂線，根據(jù)長(zhǎng)對(duì)正先求出截?cái)嗝娴乃�平投影，然后根�?jù)寬相等求出其側(cè)面投影。最后整理三棱錐的輪廓線，在左視圖上，右側(cè)棱的投影有一段和左側(cè)棱重合，有一段被正垂截?cái)嗝嬲趽�，所以�?huà)成虛線，這一點(diǎn)應(yīng)特別注意。如圖3-34（b）所是。繪制立體的三視圖時(shí)，一定要先畫(huà)出基礎(chǔ)立體的三視圖，然后再研究交線，最后整理輪廓線，最忌諱的是看到一條線就畫(huà)一條線，不作形體分析，只畫(huà)能看到的線，不畫(huà)看不到的線。

圖3-33直線與平面平行

5．本講作業(yè)習(xí)題集

圖3-34平面與平面相交

[例5]求圖3-35所示立體“凸”字形斷面的實(shí)形。

圖3-35正垂面的實(shí)形

【分析】“凸”字形斷面是正垂面，斷面形狀可理解為矩形切去兩個(gè)小矩形。矩形的高度（39）在主視圖上反映其大小，矩形的寬度（40）在俯視圖上反映其大小，所以可畫(huà)出矩形的實(shí)際大小。同理，可畫(huà)出小矩形的實(shí)際大小。

[例6]求三棱錐的錐頂S到底面ABC高線的投影，如圖3-36（a）所示。

分析:三棱錐S-ABC的四個(gè)面均為一般位置平面，錐頂S到底面ABC的高SD是一般位置直線，若將底面ABC經(jīng)過(guò)投影變換成新投影面的垂直面，則高SD在新投影面上的投影和底面ABC的投影垂直，且SD平行于新投影面，所以，可求出SD在新投影體系中的投影。作圖步驟如下：

（1）在底面ABC內(nèi)作一條水平線，添加新投影軸，將底面ABC變換為V1面的垂直面；

（2）求出S在V1面內(nèi)的投影s1’，過(guò)s1’作直線a1’b1’c1’的垂線s1’d1’,則s1’d1’為高線SD的V1面投影；

（3）過(guò)s作X1軸的平行線，過(guò)d’作X1軸的垂線，兩線的交點(diǎn)d為D點(diǎn)的H面投影；

（4）利用d1’到X1軸的距離等于D點(diǎn)的Z坐標(biāo)，可求出D點(diǎn)的V面投影d’。見(jiàn)圖3-36（b）所示。

請(qǐng)讀者想一想，上述作圖方法求出的D點(diǎn)是不是垂足？為什么？

[例7]求圖3-37所示變形接頭左側(cè)面和前面所成二面角的大小。

【分析】設(shè)接頭左側(cè)面和前面的交線為AB，在左側(cè)面上取一點(diǎn)D，在前面上取一點(diǎn)C，則平面ABC和平面ABD所成的二面角即為接頭左側(cè)面和前面所成二面角。為了求出這個(gè)

圖3-36投影變換法求三棱錐的高

二面角的實(shí)際大小，需要將交線AB變換為投影面的垂直線，而AB為一般位置直線，所以需要經(jīng)過(guò)兩次換面法才能將AB變換為投影面的垂直線。作圖過(guò)程見(jiàn)圖3-37。

圖3-37求二面角的實(shí)際大小