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帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的最小面積問(wèn)題
在高三物理復(fù)習(xí)中，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是重點(diǎn)內(nèi)容。其中有一類(lèi)最小面積的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律性很強(qiáng)，本文作一歸納，供大家參考。 已知帶電粒子的進(jìn)、出磁場(chǎng)的方向，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌跡圓的圓心在以進(jìn)出磁場(chǎng)方向夾角的角分線(xiàn)上。由已知條件求軌跡圓半徑并在對(duì)角線(xiàn)上確定位置，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以確定磁場(chǎng)的最小面積。下面我就以幾道典型題驗(yàn)證這個(gè)思路。 例題1.一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的電帶粒子，由原點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿x正方向。后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L(zhǎng)，如圖所示。不計(jì)重力的影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。 解：粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其半徑為r， qvB=m■① 據(jù)此并由題意知，粒子在磁場(chǎng)中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)之外。過(guò)P沿速度方向作延長(zhǎng)線(xiàn)，它與x軸相交于Q點(diǎn)。作角PQO的對(duì)角線(xiàn)，與y軸的交點(diǎn)就是C點(diǎn)。這樣也求得圓弧軌跡的圓心C，如圖所示。 由圖中幾何關(guān)系得 L=3r② 由①、②求得 B=■③ 圖中OA的長(zhǎng)度即圓形磁場(chǎng)區(qū)的半徑R，由圖中幾何關(guān)系可得 R=■L④ 例題2.如圖所示，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B■，E的大小為0.5×10■V/m，B■大小為0.5T；第一象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B■，磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合。一質(zhì)量m=1×10■kg、電荷量q=1×10■C的帶正電微粒以某一速度v沿與y軸正方向60°角從M點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)P點(diǎn)即進(jìn)入處于第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)B■區(qū)域。一段時(shí)間后，小球經(jīng)過(guò)y軸上的N點(diǎn)并與y軸正方向成60°角的方向飛出。M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，30），不計(jì)粒子重力，g取10m/s■。 �。�1）請(qǐng)分析判斷勻強(qiáng)電場(chǎng)E■的方向并求出微粒的運(yùn)動(dòng)速度v； �。�2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)B■的大小為多大？ （3）B■磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為多少？ 解：（1）由于重力忽略不計(jì)，微粒在第四象限內(nèi)僅受電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用，且微粒做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度的變化會(huì)引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。這樣，電場(chǎng)力和洛侖茲力大小相等，方向相反，電場(chǎng)E的方向與微粒運(yùn)動(dòng)的方向垂直，即與y軸負(fù)方向成60°角斜向下。（2分） 由力的平衡有 Eq=B■qv ∴v=■=■m/s=10■m/s �。�2）作進(jìn)出磁場(chǎng)方向的夾角，作出夾角的對(duì)角線(xiàn)，圓心就在對(duì)角線(xiàn)上。半徑垂直于MP。畫(huà)出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。 由幾何關(guān)系可知粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=■m 微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，即 qB■v=m■ 解之得B■=■T �。�3）由圖可知，磁場(chǎng)B■的最小區(qū)域應(yīng)該分布在圖示的矩形PACD內(nèi)。 由幾何關(guān)系易得PD=2Rsin60°=0.2m PA=R（1-cos60°）=■m 所以，所求磁場(chǎng)的最小面積為S=■·■=■×■=■m■ 例題3.一個(gè)質(zhì)量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋�(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求： �。�1）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t； �。�2）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)； �。�3）畫(huà)出磁場(chǎng)區(qū)域及粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡。 解： �。�1）如圖，正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的邊長(zhǎng)最小時(shí)，三角形DEF為磁場(chǎng)區(qū)域，⊙O為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，與三角形DEF的兩邊DE、DF相切。 �。�2）由qvB=m■，且周期T=■，得軌跡半徑r=■，T=■. 該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=■T，即t=■. （3）DG為底邊EF上的高，DG=DO+OG=2r+rcos30°，則正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)為： L=■=■，解得L=■（■+1）. 對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，正確畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡和確定圓心是解決的關(guān)鍵。
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