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高考中探索性問題的題型分析
高考中探索性問題的題型分析四川省樂至縣吳仲良中學 毛仕理
隨著以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質教育的深入發(fā)展，高考命題將更加關注“探索性問題”．從最近幾年來高考中探索性問題逐年攀升的趨勢，可預測探索性問題仍將是高考命題“孜孜以求的目標”．
常規(guī)的解答題或證明題，其條件或結論都明確給出，解題過程實際上就是由因導果或由果索因，是一個展開思維走向的過程．
由給定的題設條件探求相應的結論，或由給定的題斷追溯應具備的條件，或變更題設、題斷的某個部分使命題也相應變化等等，這一類問題稱之為探索性問題．由于這類題型沒有明確的結論，解題方向不明，自由度大，需要先通過對問題進行觀察、分析、比較、概括后方能得出結論，再對所得出的結論予以證明．其難度大、要求高，是訓練和考查學生的創(chuàng)新精神，數(shù)學思維能力、分析問題和解決問題能力的好題型．近幾年高考中探索性問題分量加重，在選擇題、填空題、解答題中都已出現(xiàn)．
高考常見的探索性問題，就其命題特點考慮，可分為題設開放型、結論開放型、題設和結論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．
一、結論開放型
結論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定的前提條件下，探索結論的多樣性，然后通過推理證明確定結論．解決這類問題的總體思路是：先假設結論存在，并依此進行推理，若能推出矛盾。即可否定假設；若能推出合理結果，經(jīng)驗證成立，即可肯定假設成立．
例1 有兩個不是常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，且a1=b1=l，那么它們最多有多少個對應項的值相等?你能舉出具體的例子嗎?
解析 根據(jù)題意，要找出有多少個對應項的值相等，可以分別設數(shù)列的通項
an=1+(n-1)d (公差d≠0)．
bn=qn-1(公比q≠0，1)．
由對應項的值相等an=bn，有1+(n-1)d = qn-1．
于是，問題歸結為討論這個關于n(n∈N*)的方程解的個數(shù)，這個結果不易直接得出．怎么辦呢?如果換位思考，用數(shù)形結合的思想去探索，則可以轉化為兩個函數(shù)的圖象自變量取正整數(shù)時交點的個數(shù)，這個問題就變得很具體了．
令y1=1+(n-1)d (d≠O)，
y2= qn-1 (q≠0，1)．
函數(shù)y1的圖象是直線上自變量取正整數(shù)的點；函數(shù)y2的圖象是指數(shù)函數(shù)的圖象右移1個單位，且白變量取正整數(shù)的點．顯然兩者的圖象均過點(1，1)．
圖l
(1)q>0，且q≠1時，①若d>0，y1單調遞增，則僅當q>l時，y1與y2可能再有交點，且最多再有一個(如圖l)；②若d<0，y1單調遞減，則僅當0<q<1時，y1、y2才能再有交點，且最多再有1個(如圖2)．
(2)q<0，y2=qn-1對應的點分別在y=|q|n-1和y=-|q|n-1兩個函數(shù)的圖象上，y1與y2的圖象最多再有2個交點(如圖3)．
綜上所述，兩數(shù)列中對應項相等的項不超過3個． 圖2
特別地，選取等差數(shù)列{an}：1, , ,- ,…
等比數(shù)列{bn}：l，- ， ，- ,…
其中，a1=b1=1,a3=b3= ,a4=b4=- ,…
點撥 本題運用兩次等價轉化思想，把問題轉化為兩個函數(shù)圖象自變量取正整數(shù)交點的個數(shù)，然后再運用數(shù)形結 圖3
合思想予以探索解答．轉化思想和數(shù)形結合思想在解決數(shù)學問題中經(jīng)常應用．
二、題設開放型
題設開放型探索性問題的特點是給出結論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結論的前提下，探索結論成立的條件，但滿足結論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的．就視為正確的．解決這類問題的總體思路是：采用分析法，把結論看作已知進行逆推，探索結論所需的條件．
例2 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅?nbsp; A
ABCD滿足條件___________ 時，有A1C⊥B1D1．(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有的情形)．
解析 題目給出了部分條件及確定的結論，要求深入認識其內在聯(lián)系，填寫能得到結論的一種條件．
∵A1B1C1D1—ABCD是直四棱柱．
∴A1A⊥底面ABCD，B1B與D1D平行且相等．而AC是A1C在底面ABCD上的射影，
B1D1∥BD，
要使A1C⊥B1D1，只要A1C上BD，進而只需AC⊥BD．
這就是底面ABCD所需滿足的條件．
點撥 填寫四邊形ABCD是正方形、菱形皆可．因為這些特殊四邊形都包含著本題所需的本質：AC⊥BD．AC⊥BD是結論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件．
三、全開放型
題設、結論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來．
例3 某自來水廠要制作容積為500 m3的無蓋長方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長方形金屬制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(長度單位：m)．
請你選擇一種規(guī)格的材料，并設計出相應的制作方案．(要求：①用料最��；②簡便易行)．
解析 要求設計方案滿足“用料最省”，即使無蓋水箱的表面積最�。鐖D1，該水箱的長、寬、高分別為a、b、c.
則其體積V=abc=500(m3)． 圖1
其表面積S=2bc+2ac+ab≥3 =3 =300(m2)，
當且僅當2bc=2ac=ab，即a=b=10，c=5時，
S=2bc+2ac+ab=300m2為最小．
這表明，將無蓋長方體的尺寸設計為：10×10×5(即2：2：1)時，用料最�。�
為了選擇材料并設計制作方案，我們進行逆向思維，先將無蓋水箱長方體展開成如圖2的平面圖，進一步剪拼成如圖3的長30 m、寬10 m(長：寬=3：1)的長方形．因此，應選擇規(guī)格為30×10的材料制作．制作方案如圖4．可以看出，這種“先割后補”的方案，不但可使用料最省，而且簡便易行．
圖3
圖2 圖4
點撥 本題既具有開放性又具有實際應用價值，對學生的思維能力和應用能力要求比較高，首先要想到“用料最省”等價于“無蓋長方體表面積最小”，而設計相應的制作方案則要求學生設計合理的程序、對自己的實驗(剪拼)結果進行評價．
在推進素質教育的過程中，我們認為進行探索性問題的訓練，是數(shù)學教育走出困境的一個好辦法．由于數(shù)學開放探索題有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和良好思維品質的形成，它越來越受到教育界人士的關注和深入研究，在高考中起著愈來愈重要的作用．在今后幾年高考中，有如下的預測：
1.從1999年～2004年的高考中，探索性問題逐年攀升的趨勢，可預測今后將會加大開放探索性考題的力度．
2.在2003年和2004年連續(xù)兩年高考題中，出現(xiàn)以解析幾何為背景的結論開放型探索性的解答題，說明這類題型仍將是高考解答題的重點．
3.設計開放探索題，能考查學生的創(chuàng)新意識，特別應鼓勵學生創(chuàng)新性的解答，這就反映學生的創(chuàng)新意識，應該很好鼓勵．
4.將在方法型開放探索題中有所突破，用非常規(guī)的解題方法，或者指定兩種以上方法解同一個問題，或者在題設或結論開放型的問題中解決方法也具有一定的開放性問題，都可能在高考中出現(xiàn)．
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