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高中數(shù)學(xué)教案

時間:2024-09-23 17:45:04 數(shù)學(xué)教案 我要投稿

(通用)高中數(shù)學(xué)教案15篇

  作為一名優(yōu)秀的教育工作者,時常要開展教案準(zhǔn)備工作,教案是保證教學(xué)取得成功、提高教學(xué)質(zhì)量的基本條件。那么教案應(yīng)該怎么寫才合適呢?以下是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)教案,僅供參考,歡迎大家閱讀。

(通用)高中數(shù)學(xué)教案15篇

高中數(shù)學(xué)教案1

  一、向量的概念

  1、既有又有的量叫做向量。用有向線段表示向量時,有向線段的長度表示向量的,有向線段的箭頭所指的方向表示向量的

  2、叫做單位向量

  3、的向量叫做平行向量,因為任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,所以平行向量也叫做。零向量與任一向量平行

  4、且的向量叫做相等向量

  5、叫做相反向量

  二、向量的表示方法:

  幾何表示法、字母表示法、坐標(biāo)表示法

  三、向量的加減法及其坐標(biāo)運算

  四、實數(shù)與向量的乘積

  定義:實數(shù) λ 與向量 的積是一個向量,記作λ

  五、平面向量基本定理

  如果e1、e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1,e2叫基底

  六、向量共線/平行的充要條件

  七、非零向量垂直的充要條件

  八、線段的定比分點

  設(shè)是上的 兩點,p是上xx的任意一點,則存在實數(shù),使xxx,則為點p分有向線段所成的比,同時,稱p為有向線段的定比分點

  定比分點坐標(biāo)公式及向量式

  九、平面向量的數(shù)量積

 。1)設(shè)兩個非零向量a和b,作oa=a,ob=b,則∠aob=θ叫a與b的夾角,其范圍是[0,π],|b|cosθ叫b在a上的投影

 。2)|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積,記作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ

 。3)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

  十、平移

  典例解讀

  1、給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b;②若a,b,c,d是不共線的四點,則ab= dc是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件;③若a=b,b=c,則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c,則a∥c

  其中,正確命題的序號是xx

  2、已知a,b方向相同,且|a|=3,|b|=7,則|2a-b|=xxxx

  3、若將向量a=(2,1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量b,則向量b的坐標(biāo)為xx

  4、下列算式中不正確的是( )

  (a) ab+bc+ca=0 (b) ab-ac=bc

  (c) 0·ab=0 (d)λ(μa)=(λμ)a

  5、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c=( )

  ?函數(shù)y=x2的圖象按向量a=(2,1)平移后得到的`圖象的函數(shù)表達式為( )

  (a)y=(x-2)2-1 (b)y=(x+2)2-1 (c)y=(x-2)2+1 (d)y=(x+2)2+1

  7、平面直角坐標(biāo)系中,o為坐標(biāo)原點,已知兩點a(3,1),b(-1,3),若點c滿足oc=αoa+βob,其中a、β∈r,且α+β=1,則點c的軌跡方程為( )

  (a)3x+2y-11=0 (b)(x-1)2+(y-2)2=5

  (c)2x-y=0 (d)x+2y-5=0

  8、設(shè)p、q是四邊形abcd對角線ac、bd中點,bc=a,da=b,則 pq=xx

  9、已知a(5,-1) b(-1,7) c(1,2),求△abc中∠a平分線長

  10、若向量a、b的坐標(biāo)滿足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3),則a·b等于( )

  (a)-5 (b)5 (c)7 (d)-1

  11、若a、b、c是非零的平面向量,其中任意兩個向量都不共線,則( )

  (a)(a)2·(b)2=(a·b)2 (b)|a+b|>|a-b|

  (c)(a·b)·c-(b·c)·a與b垂直 (d)(a·b)·c-(b·c)·a=0

  12、設(shè)a=(1,0),b=(1,1),且(a+λb)⊥b,則實數(shù)λ的值是( )

  (a)2 (b)0 (c)1 (d)2

  16、利用向量證明:△abc中,m為bc的中點,則 ab2+ac2=2(am2+mb2)

  17、在三角形abc中, =(2,3), =(1,k),且三角形abc的一個內(nèi)角為直角,求實數(shù)k的值

  18、已知△abc中,a(2,-1),b(3,2),c(-3,-1),bc邊上的高為ad,求點d和向量

高中數(shù)學(xué)教案2

  1.1.1 任意角

  教學(xué)目標(biāo)

 。ㄒ唬 知識與技能目標(biāo)

  理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區(qū)間角的概念.

 。ǘ 過程與能力目標(biāo)

  會建立直角坐標(biāo)系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區(qū)間角的集合的書寫.

 。ㄈ 情感與態(tài)度目標(biāo)

  1. 提高學(xué)生的推理能力;

  2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識. 教學(xué)重點

  任意角概念的理解;區(qū)間角的集合的書寫. 教學(xué)難點

  終邊相同角的集合的表示;區(qū)間角的集合的書寫.

  教學(xué)過程

  一、引入:

  1.回顧角的定義

 、俳堑牡谝环N定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

  ②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

  二、新課:

  1.角的有關(guān)概念:

 、俳堑亩x:

  角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

 、诮堑拿Q:

  ③角的分類: A

  正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角:射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

  負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

 、茏⒁猓

 、旁诓灰鸹煜那闆r下,“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”;

 、屏憬堑慕K邊與始邊重合,如果α是零角α =0°;

  ⑶角的概念經(jīng)過推廣后,已包括正角、負角和零角.

  ⑤練習(xí):請說出角α、β、γ各是多少度?

  2.象限角的概念:

 、俣x:若將角頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么角的終邊(端點除外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.

  例1.在直角坐標(biāo)系中,作出下列各角,并指出它們是第幾象限的角.

  ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°;

  答:分別為1、2、3、4、1、2象限角.

  3.探究:教材P3面

  終邊相同的角的表示:

  所有與角α終邊相同的角,連同α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={ β | β = α +

  k·360° ,

  k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整個周角的和. 注意: ⑴ k∈Z

  ⑵ α是任一角;

  ⑶ 終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個,它們相差

  360°的.整數(shù)倍;

 、 角α + k·720°與角α終邊相同,但不能表示與角α終邊相同的所有角.

  例2.在0°到360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相等的角,并判斷它們是第幾象限角.

  ⑴-120°;

  ⑵640°;

  ⑶-950°12’.

  答:⑴240°,第三象限角;

  ⑵280°,第四象限角;

  ⑶129°48’,第二象限角;

  例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}.

  例5.寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.

  4.課堂小結(jié)

 、俳堑亩x;

 、诮堑姆诸悾

  正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角:射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

  負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

  ③象限角;

 、芙K邊相同的角的表示法.

  5.課后作業(yè):

  ①閱讀教材P2-P5;

 、诮滩腜5練習(xí)第1-5題;

 、劢滩腜.9習(xí)題1.1第1、2、3題 思考題:已知α角是第三象限角,則2α,

  解:??角屬于第三象限,

  ? k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)

  因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z)

  故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角. 又k·180°+90°<

  各是第幾象限角?

 。糼·180°+135°(k∈Z) .

  <n·360°+135°(n∈Z) ,

  當(dāng)k為偶數(shù)時,令k=2n(n∈Z),則n·360°+90°<此時,

  屬于第二象限角

 。糿·360°+315°(n∈Z) ,

  當(dāng)k為奇數(shù)時,令k=2n+1 (n∈Z),則n·360°+270°<此時,

  屬于第四象限角

  因此

  屬于第二或第四象限角.

  1.1.2弧度制

 。ㄒ唬

  教學(xué)目標(biāo)

  (二) 知識與技能目標(biāo)

  理解弧度的意義;了解角的集合與實數(shù)集R之間的可建立起一一對應(yīng)的關(guān)系;熟記特殊角的弧度數(shù).

 。ㄈ 過程與能力目標(biāo)

  能正確地進行弧度與角度之間的換算,能推導(dǎo)弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,并能運用公式解決一些實際問題

  (四) 情感與態(tài)度目標(biāo)

  通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進,培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神;通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比,讓學(xué)生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美. 教學(xué)重點

  弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明. 教學(xué)難點

  “角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.

  教學(xué)過程

  一、復(fù)習(xí)角度制:

  初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的? 規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

  二、新課:

  1.引 入:

  由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制,它是如何定義呢?

  2.定 義

  我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角;用弧度來度量角的單位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度記做1rad.在實際運算中,常常將rad單位省略.

  3.思考:

 。1)一定大小的圓心角?所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的?與圓的半徑大小有關(guān)嗎?

  (2)引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納: 弧度制的性質(zhì):

 、侔雸A所對的圓心角為

 、谡麍A所對的圓心角為

  ③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).

 、茇摻堑幕《葦(shù)是一個負數(shù).

 、萘憬堑幕《葦(shù)是零.

 、藿铅恋幕《葦(shù)的絕對值|α|= .

  4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換:

 、賹⒔嵌然癁榛《龋

 、趯⒒《然癁榻嵌龋

  5.常規(guī)寫法:

 、 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù).

  ② 弧度與角度不能混用.

  弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積.

  例1.把67°30’化成弧度.

  例2.把? rad化成度.

  例3.計算:

  (1)sin4

  (2)tan1.5.

  8.課后作業(yè):

 、匍喿x教材P6 –P8;

 、诮滩腜9練習(xí)第1、2、3、6題;

  ③教材P10面7、8題及B2、3題.

高中數(shù)學(xué)教案3

  課題:

  等比數(shù)列的概念

  教學(xué)目標(biāo)

  1、通過教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念,推導(dǎo)并掌握通項公式、

  2、使學(xué)生進一步體會類比、歸納的思想,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力、

  3、培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,實事求是的精神,及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、

  教學(xué)重點,難點

  重點、難點是等比數(shù)列的定義的歸納及通項公式的推導(dǎo)、

  教學(xué)用具

  投影儀,多媒體軟件,電腦、

  教學(xué)方法

  討論、談話法、

  教學(xué)過程

  一、提出問題

  給出以下幾組數(shù)列,將它們分類,說出分類標(biāo)準(zhǔn)、(幻燈片)

 、佟2,1,4,7,10,13,16,19,…

 、8,16,32,64,128,256,…

 、1,1,1,1,1,1,1,…

  ④243,81,27,9,3,1,,,…

 、31,29,27,25,23,21,19,…

  ⑥1,—1,1,—1,1,—1,1,—1,…

 、1,—10,100,—1000,10000,—100000,…

  ⑧0,0,0,0,0,0,0,…

  由學(xué)生發(fā)表意見(可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列,也可能分為等差、等比兩類),統(tǒng)一一種分法,其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學(xué)生看不出③的情況也無妨,得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列)、

  二、講解新課

  請學(xué)生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性,教師指出實際生活中也有許多類似的例子,如變形蟲分裂問題、假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲,再假設(shè)開始有一個變形蟲,經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲,經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲,…,一直進行下去,記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)

  這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性,這是我們將要研究的另一類數(shù)列——等比數(shù)列、(這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)

  等比數(shù)列(板書)

  1、等比數(shù)列的定義(板書)

  根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系,嘗試給等比數(shù)列下定義、學(xué)生一般回答可能不夠完美,多數(shù)情況下,有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來的教師寫出等比數(shù)列的定義,標(biāo)注出重點詞語、

  請學(xué)生指出等比數(shù)列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列、學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列,教師再追問,還有沒有其他的例子,讓學(xué)生再舉兩例、而后請學(xué)生概括這類數(shù)列的一般形式,學(xué)生可能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又是等比數(shù)列,讓學(xué)生討論后得出結(jié)論:當(dāng)時,數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列,當(dāng)時,它只是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列、教師追問理由,引出對等比數(shù)列的認(rèn)識:

  2、對定義的認(rèn)識(板書)

 。1)等比數(shù)列的首項不為0;

 。2)等比數(shù)列的每一項都不為0,即

  問題:一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為等比數(shù)列的什么條件?

  (3)公比不為0、

  用數(shù)學(xué)式子表示等比數(shù)列的.定義、

  是等比數(shù)列

 、、在這個式子的寫法上可能會有一些爭議,如寫成

  ,可讓學(xué)生研究行不行,好不好;接下來再問,能否改寫為

  是等比數(shù)列?為什么不能?式子給出了數(shù)列第項與第

  項的數(shù)量關(guān)系,但能否確定一個等比數(shù)列?(不能)確定一個等比數(shù)列需要幾個條件?當(dāng)給定了首項及公比后,如何求任意一項的值?所以要研究通項公式、

  3、等比數(shù)列的通項公式(板書)

  問題:用和表示第項

 、俨煌耆珰w納法

  ②疊乘法,…,,這個式子相乘得,所以(板書)

 。1)等比數(shù)列的通項公式得出通項公式后,讓學(xué)生思考如何認(rèn)識通項公式、(板書)

 。2)對公式的認(rèn)識

  由學(xué)生來說,最后歸結(jié):

 、俸瘮(shù)觀點;

 、诜匠趟枷耄ㄒ蛟诘炔顢(shù)列中已有認(rèn)識,此處再復(fù)習(xí)鞏固而已)、

  這里強調(diào)方程思想解決問題、方程中有四個量,知三求一,這是公式最簡單的應(yīng)用,請學(xué)生舉例(應(yīng)能編出四類問題)、解題格式是什么?(不僅要會解題,還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練)

  如果增加一個條件,就多知道了一個量,這是公式的更高層次的應(yīng)用,下節(jié)課再研究、同學(xué)可以試著編幾道題。

  三、小結(jié)

  1、本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念,得到了通項公式;

  2、注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比;

  3、用方程的思想認(rèn)識通項公式,并加以應(yīng)用。

  探究活動

  將一張很大的薄紙對折,對折30次后(如果可能的話)有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0、01毫米。

  參考答案:

  30次后,厚度為,這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙再薄一些,比如紙厚0、001毫米,對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了、還記得國王的承諾嗎?第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了,后邊的格子中的米就更多了,最后一個格子中的米應(yīng)是粒,用計算器算一下吧(對數(shù)算也行)。

高中數(shù)學(xué)教案4

  教學(xué)目標(biāo):

  1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念;

  2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法;

  3、理解切線概念實際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化

  問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。

  教學(xué)重點:

  理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。

  教學(xué)難點:

  用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。

  教學(xué)過程:

  一、問題情境

  1、問題情境。

  如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢?

  如果將點P附近的曲線放大,那么就會發(fā)現(xiàn),曲線在點P附近看上去有點像是直線。

  如果將點P附近的曲線再放大,那么就會發(fā)現(xiàn),曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上,如果繼續(xù)放大,那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線,該直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。

  因此,在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線,也就是說,點P附近,曲線可以看出直線(即在很小的范圍內(nèi)以直代曲)。

  2、探究活動。

  如圖所示,直線l1,l2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線,

 。1)試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線;

 。2)在點P附近能作出一條比l1,l2更加逼近曲線的直線l3嗎?

 。3)在點P附近能作出一條比l1,l2,l3更加逼近曲線的直線嗎?

  二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

  切線定義: 如圖,設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點,直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動,割線PQ在點P附近逼近曲線C,當(dāng)點Q無限逼近點P時,直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l,這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。

  思考:如上圖,P為已知曲線C上的一點,如何求出點P處的切線方程?

  三、數(shù)學(xué)運用

  例1 試求在點(2,4)處的切線斜率。

  解法一 分析:設(shè)P(2,4),Q(xQ,f(xQ)),

  則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)Q沿曲線逼近點P時,割線PQ逼近點P處的切線,從而割線斜率逼近切線斜率;

  當(dāng)Q點橫坐標(biāo)無限趨近于P點橫坐標(biāo)時,即xQ無限趨近于2時,kPQ無限趨近于常數(shù)4。

  從而曲線f(x)=x2在點(2,4)處的切線斜率為4。

  解法二 設(shè)P(2,4),Q(xQ,xQ2),則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)?x無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線f(x)=x2,在點(2,4)處的切線斜率為4。

  練習(xí) 試求在x=1處的切線斜率。

  解:設(shè)P(1,2),Q(1+Δx,(1+Δx)2+1),則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)?x無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)2,從而曲線f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率為2。

  小結(jié) 求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟:

  (1)找到定點P的坐標(biāo),設(shè)出動點Q的.坐標(biāo);

 。2)求出割線PQ的斜率;

 。3)當(dāng)時,割線逼近切線,那么割線斜率逼近切線斜率。

  思考 如上圖,P為已知曲線C上的一點,如何求出點P處的切線方程?

  解 設(shè)

  所以,當(dāng)無限趨近于0時,無限趨近于點處的切線的斜率。

  變式訓(xùn)練

  1。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;

  2。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;

  3。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。

  課堂練習(xí)

  已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。

  四、回顧小結(jié)

  1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線,則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映(局部以直代曲)。

  2、根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法, 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。

  五、課外作業(yè)

高中數(shù)學(xué)教案5

  教學(xué)目標(biāo):

  1。理解并掌握瞬時速度的定義;

  2。會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度;

  3。理解瞬時速度的實際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

  教學(xué)重點:

  會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度。

  教學(xué)難點:

  理解瞬時速度和瞬時加速度的定義。

  教學(xué)過程:

  一、問題情境

  1。問題情境。

  平均速度:物體的運動位移與所用時間的比稱為平均速度。

  問題一平均速度反映物體在某一段時間段內(nèi)運動的快慢程度。那么如何刻畫物體在某一時刻運動的快慢程度?

  問題二跳水運動員從10m高跳臺騰空到入水的過程中,不同時刻的速度是不同的。假設(shè)t秒后運動員相對于水面的高度為h(t)=-4.9t2+6.5t+10,試確定t=2s時運動員的速度.

  2。探究活動:

  (1)計算運動員在2s到2.1s(t∈)內(nèi)的平均速度。

  (2)計算運動員在2s到(2+?t)s(t∈)內(nèi)的平均速度。

  (3)如何計算運動員在更短時間內(nèi)的平均速度。

  探究結(jié)論:

  時間區(qū)間

  t

  平均速度

  0.1

  -13.59

  0.01

  -13.149

  0.001

  -13.1049

  0.0001

  -13.10049

  0.00001

  -13.100049

  0.000001

  -13.1000049

  當(dāng)?t?0時,?-13.1,

  該常數(shù)可作為運動員在2s時的瞬時速度。

  即t=2s時,高度對于時間的瞬時變化率。

  二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

  1。平均速度。

  設(shè)物體作直線運動所經(jīng)過的路程為,以為起始時刻,物體在?t時間內(nèi)的.平均速度為。

  可作為物體在時刻的速度的近似值,?t越小,近似的程度就越好。所以當(dāng)?t?0時,極限就是物體在時刻的瞬時速度。

  三、數(shù)學(xué)運用

  例1物體作自由落體運動,運動方程為,其中位移單位是m,時

  間單位是s,,求:

  (1)物體在時間區(qū)間s上的平均速度;

  (2)物體在時間區(qū)間上的平均速度;

  (3)物體在t=2s時的瞬時速度。

  分析

  解

 。1)將?t=0.1代入上式,得:=2.05g=20.5m/s。

 。2)將?t=0.01代入上式,得:=2.005g=20.05m/s。

 。3)當(dāng)?t?0,2+?t?2,從而平均速度的極限為:

  例2設(shè)一輛轎車在公路上作直線運動,假設(shè)時的速度為,

  求當(dāng)時轎車的瞬時加速度。

  解

  ∴當(dāng)?t無限趨于0時,無限趨于,即=。

  練習(xí)

  課本P12—1,2。

  四、回顧小結(jié)

  問題1本節(jié)課你學(xué)到了什么?

  1理解瞬時速度和瞬時加速度的定義;

  2實際應(yīng)用問題中瞬時速度和瞬時加速度的求解;

  問題2解決瞬時速度和瞬時加速度問題需要注意什么?

  注意當(dāng)?t?0時,瞬時速度和瞬時加速度的極限值。

  問題3本節(jié)課體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

  2極限的思想方法。

  3特殊到一般、從具體到抽象的推理方法。

  五、課外作業(yè)

高中數(shù)學(xué)教案6

  教學(xué)目標(biāo)

 。1)掌握直線方程的一般形式,掌握直線方程幾種形式之間的互化.

 。2)理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明

 。3)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點.

  教學(xué)重點、難點:直線方程的一般式.直線與二元一次方程 ( 、 不同時為0)的對應(yīng)關(guān)系及其證明.

  教學(xué)用具:計算機

  教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法

  教學(xué)過程

  下面給出教學(xué)實施過程設(shè)計的簡要思路:

  教學(xué)設(shè)計思路

 。ㄒ唬┮氲脑O(shè)計

  前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法,看下面問題:

  問:說出過點 (2,1),斜率為2的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 ,屬于二元一次方程,因為未知數(shù)有兩個,它們的最高次數(shù)為一次.

  肯定學(xué)生回答,并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述.再看一個問題:

  問:求出過點 , 的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 (或其它形式),也屬于二元一次方程,因為未知數(shù)有兩個,它們的最高次數(shù)為一次.

  肯定學(xué)生回答后強調(diào)“也是二元一次方程,都是因為未知數(shù)有兩個,它們的最高次數(shù)為一次”.

  啟發(fā):你在想什么(或你想到了什么)?誰來談?wù)?各小組可以討論討論.

  學(xué)生紛紛談出自己的想法,教師邊評價邊啟發(fā)引導(dǎo),使學(xué)生的認(rèn)識統(tǒng)一到如下問題:

  【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

 。ǘ┍竟(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計

  這是本節(jié)課要解決的第一個問題,如何解決?自己先研究研究,也可以小組研究,確定解決問題的思路.

  學(xué)生或獨立研究,或合作研究,教師巡視指導(dǎo).

  經(jīng)過一定時間的研究,教師組織開展集體討論.首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案:

  思路一:…

  思路二:…

  ……

  教師組織評價,確定最優(yōu)方案(其它待課下研究)如下:

  按斜率是否存在,任意直線 的位置有兩種可能,即斜率 存在或不存在.

  當(dāng) 存在時,直線 的截距 也一定存在,直線 的方程可表示為 ,它是二元一次方程.

  當(dāng) 不存在時,直線 的方程可表示為 形式的方程,它是二元一次方程嗎?

  學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是,此時教師引導(dǎo)學(xué)生,逐步認(rèn)識到把它看成二元一次方程的合理性:

  平面直角坐標(biāo)系中直線 上點的坐標(biāo)形式,與其它直線上點的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別,根據(jù)直線方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的`.

  綜合兩種情況,我們得出如下結(jié)論:

  在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的關(guān)于 、 的二元一次方程.

  至此,我們的問題1就解決了.簡單點說就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成 或 的形式,準(zhǔn)確地說應(yīng)該是“要么形如 這樣,要么形如 這樣的方程”.

  同學(xué)們注意:這樣表達起來是不是很啰嗦,能不能有一個更好的表達?

  學(xué)生們不難得出:二者可以概括為統(tǒng)一的形式.

  這樣上邊的結(jié)論可以表述如下:

  在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程.

  啟發(fā):任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關(guān)的問題呢?

  【問題2】任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

  不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的一個方面,這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究,得到明確的結(jié)論.那么如何研究呢?

  師生共同討論,評價不同思路,達成共識:

  回顧上邊解決問題的思路,發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路,即方程 (其中 、 不同時為0)系數(shù) 是否為0恰好對應(yīng)斜率 是否存在,即

 。1)當(dāng) 時,方程可化為

  這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線.

 。2)當(dāng) 時,由于 、 不同時為0,必有 ,方程可化為

  這表示一條與 軸垂直的直線.

  因此,得到結(jié)論:

  在平面直角坐標(biāo)系中,任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線.

  為方便,我們把 (其中 、 不同時為0)稱作直線方程的一般式是合理的.

  【動畫演示】

  演示“直線各參數(shù)”文件,體會任何二元一次方程都表示一條直線.

  至此,我們的第二個問題也圓滿解決,而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面,這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系,同時,直線方程的一般形式是對直線特殊形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡潔,我們還體會到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

 。ㄈ┚毩(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計

  略

高中數(shù)學(xué)教案7

  【課題名稱】

  《等差數(shù)列》的導(dǎo)入

  【授課年級】

  高中二年級

  【教學(xué)重點】

  理解等差數(shù)列的概念,能夠運用等差數(shù)列的定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列。

  【教學(xué)難點】

  等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列“等差”特點的理解,

  【教具準(zhǔn)備】多媒體課件、投影儀

  【三維目標(biāo)】

  ㈠知識目標(biāo):

  了解公差的概念,明確一個等差數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個等差數(shù)列是否是一個等差數(shù)列;

  ㈡能力目標(biāo):

  通過尋找等差數(shù)列的共同特征,培養(yǎng)學(xué)生的觀察力以及歸納推理的能力;

  ㈢情感目標(biāo):

  通過對等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力。

  【教學(xué)過程】

  導(dǎo)入新課

  師:上兩節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出表示數(shù)列的幾種方法—列舉法、通項法,遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數(shù)列的特點。下面我們觀察以下的幾個數(shù)列的例子:

  (1)我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù),從0開始,每個5個數(shù)可以得到數(shù)列:0,5,10,15,20,()

  (2)2000年,在澳大利亞悉尼舉行的`奧運會上,女子舉重被正式列為比賽項目,該項目工設(shè)置了7個級別,其中較輕的4個級別體重組成的數(shù)列(單位:kg)為48,53,58,63,()試問第五個級別體重多少?

  (3)為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境,水庫管理員定期放水清庫以清除水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。即可得到一個數(shù)列:18,15.5,13,10.5,8,(),則第六個數(shù)應(yīng)為多少?

  (4)10072,10144,10216,(),10360

  請同學(xué)們回答以上的四個問題

  生:第一個數(shù)列的第6項為25,第二個數(shù)列的第5個數(shù)為68,第三個數(shù)列的第6個數(shù)為5.5,第四個數(shù)列的第4個數(shù)為10288。

  師:我來問一下,你是依據(jù)什么得到了這幾個數(shù)的呢?請以第二個數(shù)列為例說明一下。

  生:第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5,依據(jù)這個規(guī)律我就得到了這個數(shù)列的第5個數(shù)為68.

  師:說的很好!同學(xué)們再仔細地觀察一下以上的四個數(shù)列,看看以上的四個數(shù)列是否有什么共同特征?請注意,是共同特征。

  生1:相鄰的兩項的差都等于同一個常數(shù)。

  師:很好!那作差是否有順序?是否可以顛倒?

  生2:作差的順序是后項減去前項,不能顛倒!

  師:正如生1的總結(jié),這四個數(shù)列有共同的特征:從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)(即等差)。我們叫這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

  推進新課

  等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。從剛才的分析,同學(xué)們應(yīng)該注意公差d一定是由后項減前項。

  師:有哪個同學(xué)知道定義中的關(guān)鍵字是什么?

  生2:“從第二項起”和“同一個常數(shù)”

高中數(shù)學(xué)教案8

  教學(xué)要求:

  理解曲線交點與方程組的解的關(guān)系,掌握直線與曲線位置關(guān)系的討論,能熟練地求曲線交點。

  教學(xué)重點:

  熟練地求交點。

  教學(xué)過程:

 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:

  1、直線A x+B+C=0與直線A x+B+C=0,平行的充要條件是xx,相交的充要條件是xx;

  重合的充要條件是xx,垂直的充要條件是xx。

  2、知識回顧:充分條件、必要條件、充要條件。

二、講授新課:

  1、教學(xué)例題:

 、俪鍪纠呵笾本=x+1截曲線=x所得線段的中點坐標(biāo)。

 、谟蓪W(xué)生分析求解的`思路→學(xué)生練→老師評講

  (聯(lián)立方程組→消用韋達定理求x坐標(biāo)→用直線方程求坐標(biāo))

 、墼嚽蟆喺〗Y(jié)思路!冾}:求弦長

  ④出示例:當(dāng)b為何值時,直線=x+b與曲線x+=4分別相交?相切?相離?

 、莘治觯喝N位置關(guān)系與兩曲線的交點情況有何關(guān)系?

 、迣W(xué)生試求→訂正→小結(jié)思路。

 、哂懻撈渌夥ǎ

  解一:用圓心到直線的距離求解;

  解二:用數(shù)形結(jié)合法進行分析。

  ⑧討論:兩條曲線F(x,)=0與F(x,)=0相交的充要條件是什么?

  如何判別直線Ax+B+C=0與曲線F(x,)=0的位置關(guān)系?

 。(lián)立方程組后,一解時:相切或相交;二解時:相交;無解時:相離)

  2、練習(xí):

  求過點(—2,—)且與拋物線=x相切的直線方程。

三、鞏固練習(xí):

  1、若兩直線x+=3a,x-=a的交點在圓x+=5上,求a的值。

 。ù鸢福篴=±1)

  2、求直線=2x+3被曲線=x截得的線段長。

  3、課堂作業(yè):書P72 3、4、10題。

高中數(shù)學(xué)教案9

  一、教學(xué)內(nèi)容分析

  圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性,它是無數(shù)次實踐后的高度抽象.恰當(dāng)?shù)乩枚x解題,許多時候能以簡馭繁.因此,在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)后,再一次強調(diào)定義,學(xué)會利用圓錐曲線定義來熟練的解題”。

  二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

  我所任教班級的學(xué)生參與課堂教學(xué)活動的積極性強,思維活躍,但計算能力較差,推理能力較弱,使用數(shù)學(xué)語言的表達能力也略顯不足。

  三、設(shè)計思想

  由于這部分知識較為抽象,如果離開感性認(rèn)識,容易使學(xué)生陷入困境,降低學(xué)習(xí)熱情.在教學(xué)時,借助多媒體動畫,引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,主動參與教學(xué),在輕松愉快的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取新知,提高教學(xué)效率.

  四、教學(xué)目標(biāo)

  1.深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義,能靈活應(yīng)用定義解決問題;熟練掌握焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法;能結(jié)合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。

  2.通過對練習(xí),強化對圓錐曲線定義的理解,提高分析、解決問題的能力;通過對問題的不斷引申,精心設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的一般方法。

  3.借助多媒體輔助教學(xué),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

  五、教學(xué)重點與難點:

  教學(xué)重點

  1.對圓錐曲線定義的理解

  2.利用圓錐曲線的定義求“最值”

  3.“定義法”求軌跡方程

  教學(xué)難點:

  巧用圓錐曲線定義解題

  六、教學(xué)過程設(shè)計

  【設(shè)計思路】

  (一)開門見山,提出問題

  一上課,我就直截了當(dāng)?shù)亟o出——

  例題1:(1) 已知A(-2,0), B(2,0)動點M滿足|MA|+|MB|=2,則點M的軌跡是( )。

  (A)橢圓 (B)雙曲線 (C)線段 (D)不存在

  (2)已知動點 M(x,y)滿足(x1)2(y2)2|3x4y|,則點M的軌跡是( )。

  (A)橢圓 (B)雙曲線 (C)拋物線 (D)兩條相交直線

  【設(shè)計意圖】

  定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法,熟悉不同概念的不同定義方式,是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個必備條件,而通過一個階段的學(xué)習(xí)之后,學(xué)生們對圓錐曲線的定義已有了一定的認(rèn)識,他們是否能真正掌握它們的本質(zhì),是我本節(jié)課首先要弄清楚的問題。

  為了加深學(xué)生對圓錐曲線定義理解,我以圓錐曲線的定義的運用為主線,精心準(zhǔn)備了兩道練習(xí)題。

  【學(xué)情預(yù)設(shè)】

  估計多數(shù)學(xué)生能夠很快回答出正確答案,但是部分學(xué)生對于圓錐曲線的定義可能并未真正理解,因此,在學(xué)生們回答后,我將要求學(xué)生接著說出:若想答案是其他選項的話,條件要怎么改?這對于已學(xué)完圓錐曲線這部分知識的學(xué)生來說,并不是什么難事。但問題(2)就可能讓學(xué)生們費一番周折—— 如果有學(xué)生提出:可以利用變形來解決問題,那么我就可以循著他的思路,先對原等式做變形:(x1)2(y2)2

  5這樣,很快就能得出正確結(jié)果。如若不然,我將啟發(fā)他們從等式兩端的式子|3x4y|5

  入手,考慮通過適當(dāng)?shù)淖冃,轉(zhuǎn)化為學(xué)生們熟知的兩個距離公式。

  在對學(xué)生們的解答做出判斷后,我將把問題引申為:該雙曲線的中心坐標(biāo)是 ,實軸長為 ,焦距為 。以深化對概念的理解。

  (二)理解定義、解決問題

  例2 (1)已知動圓A過定圓B:x2y26x70的圓心,且與定圓C:xy6x910 相內(nèi)切,求△ABC面積的最大值。

  (2)在(1)的條件下,給定點P(-2,2), 求|PA|

  【設(shè)計意圖】

  運用圓錐曲線定義中的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,使問題化歸為幾何中求最大(小)值的模式,是解析幾何問題中的一種常見題型,也是學(xué)生們比較容易混淆的一類問題。例2的設(shè)置就是為了方便學(xué)生的辨析。

  【學(xué)情預(yù)設(shè)】

  根據(jù)以往的經(jīng)驗,多數(shù)學(xué)生看上去都能順利解答本題,但真正能完整解答的可能并不多。事實上,解決本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確寫出點A的軌跡,有了練習(xí)題1的鋪墊,這個問題對學(xué)生們來講就顯得頗為簡單,因此面對例2(1),多數(shù)學(xué)生應(yīng)該能準(zhǔn)確給出解答,但是對于例2(2)這樣相對比較陌生的問題,學(xué)生就無從下手。我提醒學(xué)生把3/5和離心率聯(lián)系起來,這樣就容易和第二定義聯(lián)系起來,從而找到解決本題的突破口。

  (三)自主探究、深化認(rèn)識

  如果時間允許,練習(xí)題將為學(xué)生們提供一次數(shù)學(xué)猜想、試驗的機會——

  練習(xí):設(shè)點Q是圓C:(x1)2225|AB|的最小值。 3y225上動點,點A(1,0)是圓內(nèi)一點,AQ的垂直平分線與CQ交于點M,求點M的軌跡方程。

  引申:若將點A移到圓C外,點M的軌跡會是什么?

  【設(shè)計意圖】 練習(xí)題設(shè)置的目的`是為學(xué)生課外自主探究學(xué)習(xí)提供平臺,當(dāng)然,如果課堂上時間允許的話,可借助“多媒體課件”,引導(dǎo)學(xué)生對自己的結(jié)論進行驗證。

  【知識鏈接】

  (一)圓錐曲線的定義

  1. 圓錐曲線的第一定義

  2. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義

  (二)圓錐曲線定義的應(yīng)用舉例

  1.雙曲線1的兩焦點為F1、F2,P為曲線上一點,若P到左焦點F1的距離為12,求P到右準(zhǔn)線的距離。

  2.|PF1||PF2|2.P為等軸雙曲線x2y2a2上一點, F1、F2為兩焦點,O為雙曲線的中心,求的|PO|取值范圍。

  3.在拋物線y22px上有一點A(4,m),A點到拋物線的焦點F的距離為5,求拋物線的方程和點A的坐標(biāo)。

  4.(1)已知點F是橢圓1的右焦點,M是這橢圓上的動點,A(2,2)是一個定點,求|MA|+|MF|的最小值。

  x2y211(2)已知A(,3)為一定點,F(xiàn)為雙曲線1的右焦點,M在雙曲線右支上移動,當(dāng)|AM||MF|最小時,求M點的坐標(biāo)。

  (3)已知點P(-2,3)及焦點為F的拋物線y,在拋物線上求一點M,使|PM|+|FM|最小。

  5.已知A(4,0),B(2,2)是橢圓1內(nèi)的點,M是橢圓上的動點,求|MA|+|MB|的最小值與最大值。

  七、教學(xué)反思

  1.本課將借助于,將使全體學(xué)生參與活動成為可能,使原來令人難以理解的抽象的數(shù)學(xué)理論變得形象,生動且通俗易懂,同時,運用“多媒體課件”輔助教學(xué),節(jié)省了板演的時間,從而給學(xué)生留出更多的時間自悟、自練、自查,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,這充分顯示出“多媒體課件”與探究合作式教學(xué)理念的有機結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢。

  2.利用兩個例題及其引申,通過一題多變,層層深入的探索,以及對猜測結(jié)果的檢測研究,培養(yǎng)學(xué)生思維能力,使學(xué)生從學(xué)會一個問題的求解到掌握一類問題的解決方法. 循序漸進的讓學(xué)生把握這類問題的解法;將學(xué)生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題,方便學(xué)生進行比較、分析。雖然從表面上看,我這一堂課的教學(xué)容量不大,但事實上,學(xué)生們的思維運動量并不會小。

  總之,如何更好地選擇符合學(xué)生具體情況,滿足教學(xué)目標(biāo)的例題與練習(xí)、靈活把握課堂教學(xué)節(jié)奏仍是我今后工作中的一個重要研究課題.而要能真正進行素質(zhì)教育,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,自己首先必須更新觀念——在教學(xué)中適度使用多媒體技術(shù),讓學(xué)生有參與教學(xué)實踐的機會,能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時,激發(fā)起求知的欲望,在尋求解決問題的辦法的過程中獲得自信和成功的體驗,于不知不覺中改善了他們的思維品質(zhì),提高了數(shù)學(xué)思維能力。

高中數(shù)學(xué)教案10

  一、單元教學(xué)內(nèi)容

  (1)算法的基本概念

  (2)算法的基本結(jié)構(gòu):順序、條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)

  (3)算法的基本語句:輸入、輸出、賦值、條件、循環(huán)語句

  二、單元教學(xué)內(nèi)容分析

  算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分,是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展,算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用,并日益融入社會生活的許多方面,算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。需要特別指出的是,中國古代數(shù)學(xué)中蘊涵了豐富的算法思想。在本模塊中,學(xué)生將在中學(xué)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上,結(jié)合對具體數(shù)學(xué)實例的分析,體驗程序框圖在解決問題中的作用;通過模仿、操作、探索,學(xué)習(xí)設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程;體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,發(fā)展有條理的思考與表達的能力,提高邏輯思維能力

  三、單元教學(xué)課時安排:

  1、算法的基本概念3課時

  2、程序框圖與算法的基本結(jié)構(gòu)5課時

  3、算法的基本語句2課時

  四、單元教學(xué)目標(biāo)分析

  1、通過對解決具體問題過程與步驟的分析體會算法的思想,了解算法的含義

  2、通過模仿、操作、探索,經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序、條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

  3、經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的過程,理解幾種基本算法語句:輸入、輸出、斌值、條件、循環(huán)語句,進一步體會算法的基本思想。

  4、通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例,體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。

  五、單元教學(xué)重點與難點分析

  1、重點

  (1)理解算法的含義(2)掌握算法的基本結(jié)構(gòu)(3)會用算法語句解決簡單的實際問題

  2、難點

  (1)程序框圖(2)變量與賦值(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)(4)算法設(shè)計

  六、單元總體教學(xué)方法

  本章教學(xué)采用啟發(fā)式教學(xué),輔以觀察法、發(fā)現(xiàn)法、練習(xí)法、講解法。采用這些方法的`原因是學(xué)生的邏輯能力不是很強,只能通過對實例的認(rèn)真領(lǐng)會及一定的練習(xí)才能掌握本節(jié)知識。

  七、單元展開方式與特點

  1、展開方式

  自然語言→程序框圖→算法語句

  2、特點

  (1)螺旋上升分層遞進(2)整合滲透前呼后應(yīng)(3)三線合一橫向貫通(4)彈性處理多樣選擇

  八、單元教學(xué)過程分析

  1.算法基本概念教學(xué)過程分析

  對生活中的實際問題通過對解決具體問題過程與步驟的分析(喝茶,如二元一次方程組求解問題),體會算法的思想,了解算法的含義,能用自然語言描述算法。

  2.算法的流程圖教學(xué)過程分析

  對生活中的實際問題通過模仿、操作、探索,經(jīng)歷通過設(shè)計流程圖表達解決問題的過程,了解算法和程序語言的區(qū)別;在具體問題的解決過程中,理解流程圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序、條件分支、循環(huán),會用流程圖表示算法。

  3.基本算法語句教學(xué)過程分析

  經(jīng)歷將具體生活中問題的流程圖轉(zhuǎn)化為程序語言的過程,理解表示的幾種基本算法語句:賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句、循環(huán)語句,進一步體會算法的基本思想。能用自然語言、流程圖和基本算法語句表達算法,

  4.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例,體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。

  九、單元評價設(shè)想

  1.重視對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的評價

  關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)過程中,是否對用集合語言描述數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活中的問題充滿興趣;在學(xué)習(xí)過程中,能否體會集合語言準(zhǔn)確、簡潔的特征;是否能積極、主動地發(fā)展自己運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力。

  2.正確評價學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能

  關(guān)注學(xué)生在本章(節(jié))及今后學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生集中學(xué)習(xí)算法的初步知識,主要包括算法的基本結(jié)構(gòu)、基本語句、基本思想等。算法思想將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)部分,在其他相關(guān)部分還將進一步學(xué)習(xí)算法

高中數(shù)學(xué)教案11

  教學(xué)目標(biāo)

  理解數(shù)列的概念,掌握數(shù)列的運用

  教學(xué)重難點

  理解數(shù)列的概念,掌握數(shù)列的'運用

  教學(xué)過程

  【知識點精講】

  1、數(shù)列:按照一定次序排列的一列數(shù)(與順序有關(guān))

  2、通項公式:數(shù)列的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示an=f(n)。

  (通項公式不)

  3、數(shù)列的表示:

  (1)列舉法:如1,3,5,7,9……;

  (2)圖解法:由(n,an)點構(gòu)成;

  (3)解析法:用通項公式表示,如an=2n+1

  (4)遞推法:用前n項的值與它相鄰的項之間的關(guān)系表示各項,如a1=1,an=1+2an-1

  4、數(shù)列分類:有窮數(shù)列,無窮數(shù)列;遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動數(shù)列,常數(shù)數(shù)列;有界數(shù)列,xx數(shù)列

  5、任意數(shù)列{an}的前n項和的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)教案12

  教學(xué)準(zhǔn)備

  1.教學(xué)目標(biāo)

  1、知識與技能:

  函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依

  賴關(guān)系,同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù),高中階段更注重函數(shù)模型化的思想與意識.

  2、過程與方法:

 。1)通過實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;

 。2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素;

  (3)會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;

  (4)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示函數(shù)的定義域;

  3、情感態(tài)度與價值觀,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性.

  教學(xué)重點/難點

  重點:理解函數(shù)的模型化思想,用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù);

  難點:符號“y=f(x)”的含義,函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示;

  教學(xué)用具

  多媒體

  4.標(biāo)簽

  函數(shù)及其表示

  教學(xué)過程

  (一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  1、復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念,強調(diào)函數(shù)的模型化思想;

  2、閱讀課本引例,體會函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想:

 。1)炮彈的射高與時間的變化關(guān)系問題;

 。2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關(guān)系問題;

 。3)“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時間的變化關(guān)系問題.

  3、分析、歸納以上三個實例,它們有什么共同點;

  4、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與對應(yīng)的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關(guān)系;

  5、根據(jù)初中所學(xué)函數(shù)的概念,判斷各個實例中的兩個變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

  (二)研探新知

  1、函數(shù)的有關(guān)概念

 。1)函數(shù)的概念:

  設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function).

  記作:y=f(x),x∈A.

  其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain);與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域(range).

  注意:

 、佟皔=f(x)”是函數(shù)符號,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

  ②函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值,一個數(shù),而不是f乘x.

 。2)構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么?

  定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

 。3)區(qū)間的概念

 、賲^(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;

 、跓o窮區(qū)間;

 、蹍^(qū)間的數(shù)軸表示.

  (4)初中學(xué)過哪些函數(shù)?它們的定義域、值域、對應(yīng)法則分別是什么?

  通過三個已知的函數(shù):y=ax+b(a≠0)

  y=ax2+bx+c(a≠0)

  y=(k≠0)比較描述性定義和集合,與對應(yīng)語言刻畫的定義,談?wù)勼w會.

  師:歸納總結(jié)

  (三)質(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維。

  1、如何求函數(shù)的定義域

  例1:已知函數(shù)f(x)=+

 。1)求函數(shù)的定義域;

 。2)求f(-3),f()的值;

  (3)當(dāng)a>0時,求f(a),f(a-1)的值.

  分析:函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定,如前所述的三個實例.如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合,函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

  例2、設(shè)一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式,并寫出定義域.

  分析:由題意知,另一邊長為x,且邊長x為正數(shù),所以0<x<40.

  所以s==(40-x)x(0<x<40)

  引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)幾類函數(shù)的.定義域:

 。1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

  2)如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.

 。3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.

 。4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合.(即求各集合的交集)

 。5)滿足實際問題有意義.

  鞏固練習(xí):課本P19第1

  2、如何判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

  例3、下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?

  分析:

  1構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))

  2兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

  解:

  課本P18例2

  (四)歸納小結(jié)

 、購木唧w實例引入了函數(shù)的概念,用集合與對應(yīng)的語言描述了函數(shù)的定義及其相關(guān)概念;②初步介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的基本方法,同時引出了區(qū)間的概念.

 。ㄎ澹┰O(shè)置問題,留下懸念

  1、課本P24習(xí)題1.2(A組)第1—7題(B組)第1題

  2、舉出生活中函數(shù)的例子(三個以上),并用集合與對應(yīng)的語言來描述函數(shù),同時說出函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

  課堂小結(jié)

高中數(shù)學(xué)教案13

  教學(xué)目標(biāo):

  1、使學(xué)生了解角的形成,理解角的概念掌握角的各種表示法;

  2、通過觀察、操作培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動手操作能力。

  3、使學(xué)生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化

  4、采用自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法,培養(yǎng)學(xué)生主動參與、勇于探究的精神。

  教學(xué)重點:

  理解角的概念,掌握角的三種表示方法

  教學(xué)難點:

  掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化

  教學(xué)手段:

  教具:電腦課件、實物投影、量角器

  學(xué)具:量角器需測量的角

  教學(xué)過程:

  一、建立角的概念

 。ㄒ唬┮虢牵ɡ谜n件演示)

  1、從生活中引入

  提問:

  A、以前我們曾經(jīng)認(rèn)識過角,那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎?

  B、在我們的生活當(dāng)中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角?

  2、從射線引入

  提問:

  A、昨天我們認(rèn)識了射線,想從一點可以引出多少條射線?

  B、如果從一點出發(fā)任意取兩條射線,那出現(xiàn)的是什么圖形?

  C、哪兩條射線可以組成一個角?誰來指一指。

  (二)認(rèn)識角,總結(jié)角的定義

  3、 過渡:角是怎么形成的呢?一起看

 。1)、演示:老師在這畫上一個點,現(xiàn)在從這點出發(fā)引出一條射線,再從這點出發(fā)引出第二條射線。

  提問:觀察從這點引出了幾條射線?此時所組成的圖形是什么圖形?

 。2)、判斷下列哪些圖形是角。

  (√) (×) (√) (×) (√)

  為何第二幅和第四幅圖形不是角?(學(xué)生回答)

  誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角?

  總結(jié):有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角(angle)

  角的第二定義:角也可以看做由一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.如下圖中的角,可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊,OB叫做角的終邊.

  B

  0 A

  4、認(rèn)識角的各部分名稱,明確頂點、邊的作用

 。1)觀看角的圖形提問:這個點叫什么?這兩條射線叫什么?(學(xué)生邊說師邊標(biāo)名稱)

 。2)角可以畫在本上、黑板上,那角的位置是由誰決定的?

 。3)頂點可以確定角的位置,從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。

  5、學(xué)會用符號表示角

  提問:那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示)

 。1)可以標(biāo)上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA.

 。2)觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間)

  (3)所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B

 。4)為了方便,有時我們還可以標(biāo)上數(shù)字,寫作∠1,讀作:角1

 。5)注:區(qū)別 “∠”和“<”的不同。請同學(xué)們指著用學(xué)具折出的一個角,訓(xùn)練一下這三種讀法。

  6、強調(diào)角的大小與兩邊張開的程度有關(guān),與兩條邊的長短無關(guān)。

  二、 角的度量

  1、學(xué)習(xí)角的度量

 。1)教學(xué)生認(rèn)識量角器

  (2) 認(rèn)識了量角器,那怎樣使用它去測量角的度數(shù)呢?這部分知識請同學(xué)們合作學(xué)習(xí)。

  提出要求:小組合作邊學(xué)習(xí)測量方法邊嘗試測量

  第一個角,想想有幾種方法?

  1、要求合作學(xué)習(xí)探究、測量。

  2、反饋匯報:學(xué)生邊演示邊復(fù)述過程

  3、教師利用課件演示正確的操作過程,糾正學(xué)生中存在的問題。

  4、歸納概括測量方法(兩重合一對)

 。1)用量角器的`中心點與角的頂點重合

 。2)零刻度線與角的一邊重合(可與內(nèi)零度刻度線重合;也可與外零度刻度線重合)

 。3)另一條邊所對的角的度數(shù),就是這個角的度數(shù)。

  5、小結(jié):同一個角無論是用內(nèi)刻度量角,還是用外刻度量角,結(jié)果都一樣。

  6、獨立練習(xí)測量角的度數(shù)(書做一做中第一題1,3與第二題)

  (1) 獨立測量,師注意查看學(xué)生中存在的問題。

  (2) 課件演示糾正問題

  三、度、分、秒的進位制及這些單位間的互化

  為了更精細地度量角,我們引入更小的角度單位:分、秒.把1°的角等分成60份,每份叫做1分記作1′;把1′的角再等分成60份,每份叫做1秒的角,1秒記作1″.

  1°=60′,1′=60″;

  1′=( )°,1″=( )′.

  例1 將57.32°用度、分、秒表示.

  解:先把0.32°化為分,

  0.32°=60′×0.32=19.2′.

  再把0.2′化為秒,

  0.2′=60″×0.2=12″.

  所以 57.32″=57°19′12″.

  例2 把10°6′36″用度表示.

  解:先把36″化為分,

  36″=( )′×36=0.6′

  6′+0.6′=6.6′.

  再把6.6′化為度,

  6.6′=( )°×6.6=0.11°.

  所以 10°6′36″=10.11°.

  四、鞏固練習(xí)

  課本P122練習(xí)

  五、總結(jié):請大家回憶一下,今天都學(xué)了那些知識,通過學(xué)習(xí)你想說些什么?

  六、作業(yè):課本P123 3、4.(1)(3)、5.(2)(4)

高中數(shù)學(xué)教案14

  一、課程性質(zhì)與任務(wù)

  數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ),是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課。本課程的任務(wù)是:使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,具備必需的相關(guān)技能與能力,為學(xué)習(xí)專業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)目標(biāo)

  1.在九年義務(wù)教育基礎(chǔ)上,使學(xué)生進一步學(xué)習(xí)并掌握職業(yè)崗位和生活中所必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。2.培養(yǎng)學(xué)生的計算技能、計算工具使用技能和數(shù)據(jù)處理技能,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數(shù)學(xué)思維能力。

  3.引導(dǎo)學(xué)生逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、實踐意識、創(chuàng)新意識和實事求是的科學(xué)態(tài)度,提高學(xué)生就業(yè)能力與創(chuàng)業(yè)能力。三、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

  本課程的教學(xué)內(nèi)容由基礎(chǔ)模塊、職業(yè)模塊和拓展模塊三個部分構(gòu)成。

  1.基礎(chǔ)模塊是各專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)性內(nèi)容和應(yīng)達到的基本要求,教學(xué)時數(shù)為128學(xué)時。2.職業(yè)模塊是適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)需要的限定選修內(nèi)容,各學(xué)校根據(jù)實際情況進行選擇和安排教學(xué),教學(xué)時數(shù)為32~64學(xué)時。

  3.拓展模塊是滿足學(xué)生個性發(fā)展和繼續(xù)學(xué)習(xí)需要的任意選修內(nèi)容,教學(xué)時數(shù)不做統(tǒng)一規(guī)定。四、教學(xué)內(nèi)容與要求

 。ㄒ唬┍敬缶V教學(xué)要求用語的表述1.認(rèn)知要求(分為三個層次)

  了解:初步知道知識的含義及其簡單應(yīng)用。

  理解:懂得知識的概念和規(guī)律(定義、定理、法則等)以及與其他相關(guān)知識的聯(lián)系。掌握:能夠應(yīng)用知識的概念、定義、定理、法則去解決一些問題。2.技能與能力培養(yǎng)要求(分為三項技能與四項能力)

  計算技能:根據(jù)法則、公式,或按照一定的操作步驟,正確地進行運算求解。計算工具使用技能:正確使用科學(xué)型計算器及常用的數(shù)學(xué)工具軟件。數(shù)據(jù)處理技能:按要求對數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)表格)進行處理并提取有關(guān)信息。觀察能力:根據(jù)數(shù)據(jù)趨勢,數(shù)量關(guān)系或圖形、圖示,描述其規(guī)律。

  空間想象能力:依據(jù)文字、語言描述,或較簡單的幾何體及其組合,想象相應(yīng)的`空間圖形;能夠在基本圖形中找出基本元素及其位置關(guān)系,或根據(jù)條件畫出圖形。

  分析與解決問題能力:能對工作和生活中的簡單數(shù)學(xué)相關(guān)問題,作出分析并運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法予以解決。

  數(shù)學(xué)思維能力:依據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,運用類比、歸納、綜合等方法,對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用問題能進行有條理的思考、判斷、推理和求解;針對不同的問題(或需求),會選擇合適的模型(模式)。

  (二)教學(xué)內(nèi)容與要求1.基礎(chǔ)模塊(128學(xué)時)第1單元集合(10學(xué)時)

  第2單元不等式(8學(xué)時)

  第3單元函數(shù)(12學(xué)時)

  第4單元指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(12學(xué)時)

  第5單元三角函數(shù)(18學(xué)時)

  第6單元數(shù)列(10學(xué)時)

  第7單元平面向量(矢量)(10學(xué)時)

  第8單元直線和圓的方程(18學(xué)時)

  第9單元立體幾何(14學(xué)時)

  第10單元概率與統(tǒng)計初步(16學(xué)時)

  2.職業(yè)模塊

  第1單元三角計算及其應(yīng)用(16學(xué)時)

  第2單元坐標(biāo)變換與參數(shù)方程(12學(xué)時)

  第3單元復(fù)數(shù)及其應(yīng)用(10學(xué)時)

高中數(shù)學(xué)教案15

  教學(xué)目標(biāo):

 。1)了解坐標(biāo)法和解析幾何的意義,了解解析幾何的基本問題。

 。2)進一步理解曲線的方程和方程的曲線。

 。3)初步掌握求曲線方程的方法。

 。4)通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化的能力。

  教學(xué)重點、難點:

  求曲線的方程。

  教學(xué)用具:

  計算機。

  教學(xué)方法:

  啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法。

  教學(xué)過程:

  【引入】

  1、提問:什么是曲線的方程和方程的曲線。

  學(xué)生思考并回答。教師強調(diào)。

  2、坐標(biāo)法和解析幾何的意義、基本問題。

  對于一個幾何問題,在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)表示點;用方程表示曲線,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì),這一研究幾何問題的方法稱為坐標(biāo)法,這門科學(xué)稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是:

 。1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程。

 。2)通過方程,研究平面曲線的性質(zhì)。

  事實上,在前邊所學(xué)的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程,再研究如何用方程研究曲線。本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法。

  【問題】

  如何根據(jù)已知條件,求出曲線的方程。

  【實例分析】

  例1:設(shè)、兩點的坐標(biāo)是、(3,7),求線段的垂直平分線的方程。

  首先由學(xué)生分析:根據(jù)直線方程的知識,運用點斜式即可解決。

  解法一:易求線段的中點坐標(biāo)為(1,3),

  由斜率關(guān)系可求得l的斜率為

  于是有

  即l的方程為

  ①

  分析、引導(dǎo):上述問題是我們早就學(xué)過的,用點斜式就可解決。可是,你們是否想過①恰好就是所求的嗎?或者說①就是直線的方程?根據(jù)是什么,有證明嗎?

 。ㄍㄟ^教師引導(dǎo),是學(xué)生意識到這是以前沒有解決的問題,應(yīng)該證明,證明的依據(jù)就是定義中的兩條)。

  證明:(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解。

  設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點,則

  即

  將上式兩邊平方,整理得

  這說明點的坐標(biāo)是方程的解。

 。2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。

  設(shè)點的坐標(biāo)是方程①的任意一解,則

  到、的距離分別為

  所以,即點在直線上。

  綜合(1)、(2),①是所求直線的方程。

  至此,證明完畢;仡櫳鲜鰞(nèi)容我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象:在證明(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解中,設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點,最后得到式子,如果去掉腳標(biāo),這不就是所求方程嗎?可見,這個證明過程就表明一種求解過程,下面試試看:

  解法二:設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點,也就是點屬于集合

  由兩點間的距離公式,點所適合的條件可表示為

  將上式兩邊平方,整理得

  果然成功,當(dāng)然也不要忘了證明,即驗證兩條是否都滿足。顯然,求解過程就說明第一條是正確的(從這一點看,解法二也比解法一優(yōu)越一些);至于第二條上邊已證。

  這樣我們就有兩種求解方程的方法,而且解法二不借助直線方程的理論,又非常自然,還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應(yīng)的思想。因此是個好方法。

  讓我們用這個方法試解如下問題:

  例2:點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點的軌跡方程。

  分析:這是一個純粹的幾何問題,連坐標(biāo)系都沒有。所以首先要建立坐標(biāo)系,顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系。然后仿照例1中的解法進行求解。

  求解過程略。

  【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論,師生共同總結(jié):

  分析上面兩個例題的求解過程,我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟:

  首先應(yīng)有坐標(biāo)系;其次設(shè)曲線上任意一點;然后寫出表示曲線的點集;再代入坐標(biāo);最后整理出方程,并證明或修正。說得更準(zhǔn)確一點就是:

 。1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對例如表示曲線上任意一點的坐標(biāo);

  (2)寫出適合條件的點的集合

 。

 。3)用坐標(biāo)表示條件,列出方程;

 。4)化方程為最簡形式;

 。5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的`點都是曲線上的點。

  一般情況下,求解過程已表明曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解;如果求解過程中的轉(zhuǎn)化都是等價的,那么逆推回去就說明以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。所以,通常情況下證明可省略,不過特殊情況要說明。

  上述五個步驟可簡記為:建系設(shè)點;寫出集合;列方程;化簡;修正。

  下面再看一個問題:

  例3:已知一條曲線在軸的上方,它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程。

  【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀,在運動變化的過程中尋找關(guān)系。

  解:設(shè)點是曲線上任意一點,軸,垂足是(如圖2),那么點屬于集合

  由距離公式,點適合的條件可表示為

 、

  將①式移項后再兩邊平方,得

  化簡得

  由題意,曲線在軸的上方,所以,雖然原點的坐標(biāo)(0,0)是這個方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應(yīng)為,它是關(guān)于軸對稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點,如圖2中所示。

  【練習(xí)鞏固】

  題目:在正三角形內(nèi)有一動點,已知到三個頂點的距離分別為、、,且有,求點軌跡方程。

  分析、略解:首先應(yīng)建立坐標(biāo)系,以正三角形一邊所在的直線為一個坐標(biāo)軸,這條邊的垂直平分線為另一個軸,建立直角坐標(biāo)系比較簡單,如圖3所示。設(shè)、的坐標(biāo)為、,則的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為。

  根據(jù)條件,代入坐標(biāo)可得

  化簡得

 、

  由于題目中要求點在三角形內(nèi),所以,在結(jié)合①式可進一步求出、的范圍,最后曲線方程可表示為

  【小結(jié)】師生共同總結(jié):

 。1)解析幾何研究研究問題的方法是什么?

 。2)如何求曲線的方程?

 。3)請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用,哪步重要,哪步應(yīng)注意什么?

  【作業(yè)】課本第72頁練習(xí)1,2,3;

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