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周期函數(shù)的判定方法

時(shí)間:2023-04-30 07:23:39 高考輔導(dǎo) 我要投稿
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周期函數(shù)的判定方法

[HTML]<br>[/HTML]      周期函數(shù)的判定方法

 

 羅建宇

 江蘇省張家港市暨陽高級(jí)中學(xué)    215600

周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),近年高考對(duì)這一性質(zhì)的考查加大了檢測力度,本文給出一些常用的判斷(識(shí)別)函數(shù)周期性的方法,供讀者參考.

一、 定義法

若存在非零常數(shù) 使 對(duì)于 的定義域內(nèi)的任意 都成立,則 是周期函數(shù),且非零常數(shù) 是 的一個(gè)周期.

二、 直觀法

若函數(shù)圖象可由某一段重復(fù)平移而銜接得到,則該函數(shù)是周期函數(shù),且這一段圖象兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差是這個(gè)函數(shù)一個(gè)周期.

三、 公式法

若 是最小正周期為 的周期函數(shù),則 (其中 都是常數(shù))是以 為最小正周期的周期函數(shù).

四、 雙軸法

若兩條平行直線 都是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸,則 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

證:由 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸,得: 

又 也是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸,

所以, 

故 

因此 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

推論:圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

五、 兩點(diǎn)法

若點(diǎn) ,  都是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心,則 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

證:由點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心,得:

 

又點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心,得:

 

兩式相減得: 

因此 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

推論:圖象關(guān)于點(diǎn)  對(duì)稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

六、點(diǎn)軸法

若直線 和點(diǎn)  分別是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,則 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

證:由 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸,得:

 

又 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心,得:

 

故 

 

兩式相減整理得: 

所以 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

推論1圖象關(guān)于  對(duì)稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

推論2圖象關(guān)于點(diǎn)  對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)正周期.

注釋:

[1]另外,若函數(shù)滿足以下常見的函數(shù)方程之一,也可判定其為周期函數(shù).即:

(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ,都有 ,則函數(shù) 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)周期;

(2)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ,都有 ,則函數(shù) 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)周期;

(3)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ,都有 ,則函數(shù) 是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)周期.

[2]周期性的證明應(yīng)嚴(yán)格按照周期函數(shù)的定義證明,在理解函數(shù)周期性時(shí)可結(jié)合圖象從數(shù)形結(jié)合的角度直觀的觀察,即方法二;

[3]函數(shù)周期性出現(xiàn)在三角函數(shù)一章中,故方法三常用做計(jì)算函數(shù)的最小正周期,尤其是三角函數(shù)的最小正周期;

[4]后三種方法及推論便于判斷一些特殊函數(shù)和抽象函數(shù)的周期性,反映了一般的抽象函數(shù)若同時(shí)具有奇偶性和對(duì)稱性或?qū)ΨQ性(兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系),則函數(shù)具有周期性,可結(jié)合方法二加以理解.

例1(04年全國高考17題)求函數(shù) 的最小正周期、最大值和最小值.

解析:  

 

所以函數(shù)的最小正周期為 ,最大值是 ,最小值是 .

例2(01年全國高考22題第(2)問)設(shè) 是定義在 上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線 對(duì)稱,證明 是周期函數(shù).

證明:∵ 關(guān)于直線 對(duì)稱

∴ , 

又 是偶函數(shù)知 , 

∴ 

上式中以 代 ,得 , 

這表明 是 上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期.

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