數(shù)學(xué)教案－二次根式的混合運(yùn)算

教學(xué)建議

知識結(jié)構(gòu)

重難點(diǎn)分析

本節(jié)課的重點(diǎn)是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運(yùn)算，也可以說它是運(yùn)算問題在初中階段一次總結(jié)性，提高性綜合學(xué)習(xí)；二次根式的運(yùn)算和有理化的方法與技巧，能夠進(jìn)一步開拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力。

本節(jié)課的難點(diǎn)是把分母中含有兩個二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。分母有理化，實(shí)際上二次根式的除法與混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學(xué)者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計(jì)算出錯的問題。

教法建議

1.在知識的引入上，可采取復(fù)習(xí)引入方式，比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算或整式的運(yùn)算。

2.在二次根式的加減、乘法混合運(yùn)算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式到乘法公式的應(yīng)用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。

3.在有理化因式教學(xué)中，要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別，并及時總結(jié)。

學(xué)生特點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實(shí)施分層教學(xué)),主動學(xué)習(xí)積極性高，基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍, ,并具有一定的獨(dú)立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。

教材特點(diǎn)：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個重要概念（最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化）和二次根式的有關(guān)運(yùn)算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法）基礎(chǔ)上，將加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算綜合在一起的混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)。

鑒于學(xué)生的特點(diǎn)及教材的特點(diǎn)，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法，以此實(shí)現(xiàn)生生互動、師生互動、學(xué)生與教材之間的互動。具體說明如下：

（一）在師生互動方面，教師注重問題設(shè)計(jì)，注重引導(dǎo)、點(diǎn)撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：

讓學(xué)生先進(jìn)行思考，解答。然后同學(xué)說出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

強(qiáng)調(diào)：運(yùn)算順序及運(yùn)算律和有理數(shù)相同。

（二）在學(xué)生與學(xué)生的互動上，教師注重活動設(shè)計(jì)，使學(xué)生學(xué)中有樂，樂中悟道。教師設(shè)計(jì)一組題目，讓學(xué)生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學(xué)說出優(yōu)點(diǎn)（簡便方法及靈活之處）與錯誤。由于本節(jié)課主要以計(jì)算為主，對運(yùn)算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識，學(xué)生很容易掌握而且從意識上認(rèn)為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，如此這般設(shè)計(jì)。

（三）在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設(shè)計(jì)，使學(xué)生學(xué)中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點(diǎn)問題：“分母有理化”的教學(xué)，出示一個題目，讓學(xué)生思考，找個別學(xué)生說出自己的想法，然后其它同學(xué)補(bǔ)充完成。

學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此互動。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，追求學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動�；�動式教學(xué)模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共振。

對二次根式混合運(yùn)算新課引入的建議

復(fù)習(xí)：

1.計(jì)算：（1） ； （2） .

解：(1) (2)

==

=； =.

2.在整式乘法中，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是什么？多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則是什么？什么是完全平方式？分別用式子表示出來。

答：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個多項(xiàng)式的每項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是單項(xiàng)式。

完全平方式是

； 。

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運(yùn)用乘法法則及乘法公式可以進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。引入新課。

對二次根式混合運(yùn)算學(xué)法的建議

在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時，也有一個與分式運(yùn)算相比較的問題，有的時候，加上團(tuán)式分解、約分等技巧，可以大大簡化計(jì)算過程，這是要靈活運(yùn)用的．因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)時，可以適當(dāng)結(jié)合11．1節(jié)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如

這里再順便提一下，如

這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進(jìn)行到底了．可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出 ，等等．

一、教學(xué)目標(biāo) 

1．掌握二次根式的混合運(yùn)算．

2．掌握乘法公式在混合運(yùn)算的應(yīng)用．

3．通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

4．通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學(xué)生求知的欲望

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

小結(jié)、歸納、提高

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算．

2．教學(xué)難點(diǎn) ：混合運(yùn)算的應(yīng)用．

四、課時安排

1課時

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動活動設(shè)計(jì)

1．復(fù)習(xí)，運(yùn)算律及乘法分式，引導(dǎo)學(xué)生口答，并強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中的適用，引入例題．

2．通過例題由淺入深，層層深入，既提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣又激發(fā)學(xué)生求知的欲望；從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規(guī)律及注意點(diǎn)．

3．通過大量的練習(xí)，以期形成自己所掌握的知識．

七、教學(xué)步驟 

（－）明確目標(biāo)

前面學(xué)過二次根式的加減法的簡單運(yùn)算，但二次根式未必全是加減混合運(yùn)算，它同樣會出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運(yùn)算那么二次根式的混合運(yùn)算的法則是什么？又將怎樣運(yùn)用它進(jìn)行化簡計(jì)算，這就是本節(jié)課所要研究的問題—二次根式的混合運(yùn)算．

（二）整體感知

二次根式的混合運(yùn)算中，應(yīng)注意運(yùn)算的次序．這是進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的前提條件；通過適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)乘法分式，分母有理化知識，然后再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算的教學(xué)工作，將有助于更好地學(xué)習(xí)它；同樣為了更好地理解二次根式的混合運(yùn)算還可以將它與數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算方法進(jìn)行對比，以幫助學(xué)生更好地理解并準(zhǔn)確地掌握好該知識，達(dá)到事半功倍的作用．

第一課時

（－）教學(xué)過程 

【復(fù)習(xí)】

運(yùn)算律在二次根式混合運(yùn)算中仍適用．

各種整式乘法的法則．

乘法公式： ．

．

提問：加法的交換律、結(jié)合律各是怎樣的？乘法的交換律、結(jié)合律、分配津各是什么？

強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中仍適用后，可引入例題．

【例題】

例1 計(jì)算：

（1） ；

（2） ．

解：略．

注：①加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于學(xué)生理解和掌握．②在運(yùn)算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，而是先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡．例如 ，沒有對 先進(jìn)行化簡的必要，使計(jì)算繁瑣，而是應(yīng)先進(jìn)行乘法運(yùn)算 ，通過約分達(dá)到化簡的目的．

例2 計(jì)算：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

解：略．

注：①由學(xué)生觀察算式，找出特征：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積；兩個數(shù)的和或差的平方，聯(lián)想乘法公式，與多項(xiàng)式的乘法相類似，二次根式的和相乘，適用乘法公式時，運(yùn)用乘法公式．

②復(fù)習(xí)乘法公式，可選做幾個小題．如 ， 等．

例3 計(jì)算：

（1） ；

（2） ．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如， 與 ， 與 ．

注：互為有理化因式是指兩個代數(shù)式，其乘積不再含有二次根式．

可適當(dāng)再舉例說明，如 與 ， 與 、 與 ，但 與 就不是互為有理化因式．

（二）隨堂練習(xí)

計(jì)算：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） ；

（7） ； （8） ；

（9） ．

解：（1） ．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

  ．

（7） ．

（8）

．

（9）

．

（三）總結(jié)、擴(kuò)展

對二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算及數(shù)的混合運(yùn)算比較，要注意運(yùn)算的順序及運(yùn)算律在計(jì)算過程中的作用．

有理化因式的概念需強(qiáng)調(diào)乘積的結(jié)果不再含有二次根式．

練習(xí)：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作業(yè) 

教材P204中1、2、3．

（五）板書設(shè)計(jì) 

標(biāo)    題

1．復(fù)習(xí)內(nèi)容 例3……

2．例題 3．有理化因式

例1…… 4．練習(xí)題

例2……

 

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