數(shù)學(xué)教案－可化為一元二次方程的分式方程

一、教學(xué)目標(biāo) 

1．使學(xué)生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗根.

2．通過本節(jié)課的教學(xué)，向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法；

3．通過本節(jié)的教學(xué)，繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學(xué)重點：可化為一元二次方程的分式方程的解法．

2．教學(xué)難點 ：解分式方程，學(xué)生不容易理解為什么必須進(jìn)行檢驗．

3．教學(xué)疑點：學(xué)生容易忽視對分式方程的解進(jìn)行檢驗通過對分式方程的解的剖析，進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識解分式方程必須進(jìn)行檢驗的重要性．

4．解決辦法：（l）分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應(yīng)盡量用換元法解．（2）無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進(jìn)行驗根，驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟．（3）方程的增根具備兩個特點，①它是由分式方程所轉(zhuǎn)化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0.

三、教學(xué)步驟 

（一）教學(xué)過程 

1．復(fù)習(xí)提問

（1）什么叫做分式方程？解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么？

（2）解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗？檢驗的方法是什么？

（3）解方程，并由此方程說明解方程過程中產(chǎn)生增根的原因.

通過（1）、（2）、（3）的準(zhǔn)備，可直接點出本節(jié)的內(nèi)容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同.

在教師點出本節(jié)內(nèi)容的處理方法與以前所學(xué)的知識完全類同后，讓全體學(xué)生對照前面復(fù)習(xí)過的分式方程的解，來進(jìn)一步加深對“類比”法的理解，以便學(xué)生全面地參與到教學(xué)活動中去，全面提高教學(xué)質(zhì)量.

在前面的基礎(chǔ)上，為了加深學(xué)生對新知識的理解，教師與學(xué)生共同分析解決例題，以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2．例題講解

例1  解方程.

分析  對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學(xué)生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學(xué)生敘述過程中，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正.

解：兩邊都乘以，得

去括號，得

整理，得

解這個方程，得

檢驗：把代入，所以是原方程的根.

∴  原方程的根是.

雖然，此種類型的方程在初二上學(xué)期已學(xué)習(xí)過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學(xué)

生容易犯的類型錯誤應(yīng)加以強(qiáng)調(diào)，如在第一步中．需強(qiáng)調(diào)方程兩邊同時乘以最簡公分母．另

外，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，由于是解

分式方程，所以在下結(jié)論時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)取一即可，這一點，教師應(yīng)給以強(qiáng)調(diào)．

例2  解方程

分析：解此方程的關(guān)鍵是如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵是

正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所

以將方程的分母作一轉(zhuǎn)化，化為按字母終X進(jìn)行降暴排列，并對可進(jìn)行分解的分母進(jìn)行分解，從而確定出最簡公分母．

解：方程兩邊都乘以，約去分母，得

整理后，得

解這個方程，得

檢驗：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根．

∴   原方程的根是

師生共同解決例1、例2后，教師引導(dǎo)學(xué)生與已學(xué)過的知識進(jìn)行比較．

例3  解方程.

分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學(xué)生可以試，但由于轉(zhuǎn)化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應(yīng)尋求簡便方式，通過引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，方程中含有未知數(shù)的部分  和互為倒數(shù)，由此可設(shè)  ，則可通過換元法來解題，通過求出y后，再求原方程的未知數(shù)的值．

解：設(shè)，那么，于是原方程變形為

兩邊都乘以y，得

解得

.

當(dāng)時，，去分母，得

解得；

當(dāng)時，，去分母整理，得

，

檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴  原方程的根是

，.

此題在解題過程中，經(jīng)過兩次“轉(zhuǎn)化”，所以在檢驗中，把所得的未知數(shù)的值代入原方程中的分母進(jìn)行檢驗.

鞏固練習(xí)：教材P49中1、2引導(dǎo)學(xué)筆答.

（二）總結(jié)、擴(kuò)展

對于小結(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做出.

本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容、所學(xué)知識采用了什么數(shù)學(xué)思想及教學(xué)方法兩方面進(jìn)行.

本節(jié)我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了“轉(zhuǎn)化”與“換元”的基本數(shù)學(xué)思想與基本數(shù)學(xué)方法.

此小結(jié)的目的，使學(xué)生能利用“類比”的方法，使學(xué)過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生掌握.

四、布置作業(yè) 

1．教材P50中A1、2、3.

2．教材P51中B1、2

五、板書設(shè)計 

探究活動1

解方程：

分析：若去分母，則會變?yōu)楦叽畏匠�，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次

設(shè)，則原方程變?yōu)?/p>

∴

∴或無解

∴

經(jīng)檢驗：是原方程的解

探究活動2

有農(nóng)藥一桶，倒出8升后，用水補(bǔ)滿，然后又倒出4升，再用水補(bǔ)滿，此時農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積．

解：設(shè)桶的容積為 升，第一次用水補(bǔ)滿后，濃度為 ，第二次倒出的農(nóng)藥數(shù)為4． 升，兩次共倒出的農(nóng)藥總量（8＋4· ）占原來農(nóng)藥 ，故

整理，

（舍去）

答：桶的容積為40升．

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