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APOS理論在圓錐曲線概念教學中的運用論文
摘 要：APOS理論強調學生對數學概念的建構要經過“活動”、“過程”、“對象”、“圖式”四個階段。文章基于該理論提出了圓錐曲線概念教學的幾點建議：要樹立正確的教學觀并精心設計學習活動；要體現概念的形成過程并抓住概念的本質；要通過練習、反復和總結來加深概念的理解；要重視信息技術工具的作用。
關鍵詞：APOS理論 圓錐曲線 概念教學
圓錐曲線是高中數學相當重要的內容，而圓錐曲線概念本身不好理解，還包括許多復雜的層次和許多相關的下層概念，所以圓錐曲線就成了中學數學中最難教、最難學的概念之一。本文以美國教育學家杜賓斯基關于數學概念學習的APOS理論為基礎，考察和分析學生對圓錐曲線概念的理解，并就圓錐曲線概念的教學做出了一些探討。
一、教學中要樹立正確的教學觀并精心設計學習活動
APOS理論強調在學習數學概念中首先處理的數學問題要具有社會現實背景，并要求學生開展各種各樣的數學活動，活動中學生在已有的知識和經驗基礎上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構數學概念的目的。這就要求教師要重視學生的學習活動，讓學生親身體驗、建構數學概念。
案例1：橢圓概念教學的問題情境設計
�。�1）以“神州七號”飛船飛天為引例，用多媒體演示宇宙飛船繞地球運行的軌道錄像（設計意圖：通過錄像激發(fā)學生的愛國情緒，調動起好奇心，激發(fā)起學生學習本課的興趣，使學生對橢圓有一個感性的認識）
�。�2）請學生舉出日常生活中橢圓的實例（設計意圖：使同學們發(fā)揮想象，充分調動起學習橢圓的興趣，使學生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形，如有同學認為雞蛋是橢圓形的，實質上它為橢球體）。
�。�3）實例演示：將西瓜垂直切下得到的截面是圓；改變角度傾斜切下得到的截面是橢圓（設計意圖：使橢圓更貼近日常生活，提高學生對橢圓的感性認識，活躍課堂氣氛）。
在學習雙曲線、拋物線概念之前，也可設計一些與之相關的生活情境，通過這種活動（或操作），使學生初步理解圓錐曲線概念的意義，并充分調動學生學習的興趣。
但概念教學也不能僅僅停留于活動（操作）層面，對活動階段花大力氣、多時間，而對其他階段草草收場，這也是不符合理論的，甚至是舍本逐末的。
二、教學中要體現概念的形成過程，并抓住概念的本質
從學習心理學角度分析，APOS理論的四個學習層次分析反映了學生學習數學概念過程中真實的思維過程，而過程階段在概念建立中的價值十分有意義。杜賓斯基等人認為，學生建立概念不能跨越“過程”這一階段。對“過程”，我們可以有三種理解：將數學概念從現實生活中抽象出來本身需要一段過程；將思考的結果，再以“過程”的形式呈現，這就有利于學生分析問題、解決問題；APOS理論最大的創(chuàng)新在于，將數學概念視為從一個實例到另一個實例的某種過程。這樣的過程可以使學生對數學概念也有一個新的認識，從而改變對整個數學的看法。教師在過程階段誘導學生對過程的理解也有益于學生成長過程中價值觀的形成。 案例2：橢圓概念形成過程（經歷活動——過程——對象階段）的教學設計
�。�1）教師演示畫橢圓（請兩位學生協(xié)助按住繩子兩端），邊畫邊強調畫橢圓的步驟，并請同學們注意在畫橢圓過程中筆尖一定要繃緊繩子（意圖：教師演示可向學生說明橢圓的具體畫法，同時也向學生展示了較標準的橢圓形）。
�。�2）全班同學以同桌為小組，合作親自動手去嘗試、去感受畫橢圓。
�。�3）展示學生畫的橢圓，并請學生用自己畫的橢圓說明：橢圓上的點到兩定點的距離跟繩長有什么關系？（意圖：通過實驗可以使學生對“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”有深刻的理解。一旦學生在此過程中認識到橢圓上的點到兩定點的距離之和等于繩長，他就已經完成了過程模式的建構。）
�。�4）用多媒體驗證學生歸納的結論：打開《幾何畫板》，請學生觀察M點在運動過程中|MF1|、|MF2|、|MF1+MF2|這些數值如何變化。
設問1：通過上述的實際操作和動畫演示，請問橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？（讓學生歸納。）
�。�5）歸納出橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2距離之和等于常數l（l＞|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1、F2叫焦點，兩焦點的距離叫焦距。
設問2：為什么要|MF1|+|MF2|＞|F1F2|？反之，若|MF1|+|MF2|=|F1F2|、|MF1|+|MF2|＜|F1F2|會怎樣？（強調常數l＞|F1F2|，并請同學課后思考當常數l≤|F1F2l時這些點的軌跡是什么？）
�。ㄒ鈭D：通過上述的學生實驗操作后，先請學生大膽探究、想象，再由教師動畫演示，揭示出橢圓形成的本質，突出動點與兩定點的距離之和必須滿足大于兩定點的距離，加深對橢圓定義條件的理解，從而使學生對橢圓概念的理解從過程上升為對象。）
參考文獻
[1]唐艷基于APOS理論的數學概念教學設計[J].上海中學數學，2005.12。
[2]濮安山從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J].數學教育學報，2007.2。
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