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談數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的觀念的更新策略
數(shù)學(xué)教學(xué)的成功與否與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的優(yōu)劣密切相關(guān),數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計則往往取決于數(shù)學(xué)教學(xué)理念,數(shù)學(xué)教學(xué)理念是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的“導(dǎo)航儀”.時下,新的課程改革也在不斷影響著人們的教學(xué)理念,尤其是教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀.我國學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實有余卻創(chuàng)造力不足——張奠宙老師稱之為“花崗巖的基礎(chǔ)上蓋茅草房”[1]的現(xiàn)象著實讓所有的數(shù)學(xué)教育工作者擔(dān)心,我們出于研究教學(xué)設(shè)計的需要,查閱了不少中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計,發(fā)現(xiàn)一些老師的教學(xué)設(shè)計往往被應(yīng)試教育這一“緊箍咒”束縛,一定程度上影響了他們的教學(xué)理念.限于篇幅,我們僅例舉部分中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中所反映出來的教學(xué)理念并提出我們的一些想法.一、結(jié)論與過程的傾斜
“重結(jié)論,輕過程”似乎成為人們對知識教學(xué)進(jìn)行批評的常用詞,我們在不少的場合及雜志上遇到過,甚至出現(xiàn)了有些極端的口號:“知識僅為思維的載體,知識不重要,重要的在于過程.”仔細(xì)思考一下,發(fā)現(xiàn)問題并非那么簡單.教師在教學(xué)設(shè)計時,對數(shù)學(xué)過程及結(jié)論是需要一個抉擇的,里面也充滿著設(shè)計者的智慧!
案例1 立方體表面展開圖的教學(xué)設(shè)計
我們查閱了不少的資料,也聽過一些老師的課.發(fā)現(xiàn)一些老師在立方體表面展開圖的教學(xué)設(shè)計中,把立方體展開圖各種可能的情況都羅列出來,然后讓學(xué)生觀察展開圖的規(guī)律,最后用一句口訣:“‘一四一’‘一三二’,‘一’在同層可任意;‘三個二’,成階梯,‘二個三’,‘日’狀連;整體無‘田’.”來概括,并且要求學(xué)生記住.我們想:“觀察立方體的表面展開圖并下結(jié)論無可厚非,記住就免了!”理由有兩個:一是學(xué)生即使記不住,看到展開圖想象一下就可以了;二是試題是多變的,假如考到一個無蓋的立方體展開圖,一些靠死記硬背的學(xué)生恐怕就“沒轍”了!
其實,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)結(jié)論與過程的抉擇有四種:一是數(shù)學(xué)結(jié)論與過程并重,例如圓周角定理,它的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論都很重要;二是知識產(chǎn)生的過程相對不重要但知識本身作為結(jié)論的作用則要重要一些.例如,有些數(shù)學(xué)名詞的由來,一些教師即使不清楚也不太會影響教學(xué).另外,有些數(shù)學(xué)知識形成過程非常復(fù)雜,超越學(xué)生的能力,暫時不讓學(xué)生知道其形成過程是完全可以的,也是教學(xué)的一種策略.例如,為什么是無理數(shù)?圓錐側(cè)面為什么可以展開成平面圖形而球面則不可以?等等.三是知識產(chǎn)生的過程重要但知識本身作為結(jié)論的作用則相對不重要.中學(xué)生所做的練習(xí)(包括證明題)大部分都是為鞏固知識、訓(xùn)練技能、培養(yǎng)能力服務(wù)的,教師教學(xué)設(shè)計關(guān)注的應(yīng)該是其過程,而對這些習(xí)題(本身也是知識)的結(jié)論關(guān)注度就要相對弱些,除非某些習(xí)題的結(jié)論具有“特殊的用途”.四是知識產(chǎn)生的過程和知識本身作為結(jié)論的作用都相對不重要.陳省身先生在回答梁東元的提問時說:“舉個例子,大家也許知道有個拿破侖定理,據(jù)說這個定理和拿破侖有點關(guān)系,它的意思是說,任何一個三角形,各邊上各作等邊三角形,接下來將這三個三角形的重心聯(lián)結(jié)起來,那么就必定是一個等邊的三角形,各邊上的等邊三角形也可以朝里面作,于是可以得到兩個解.像這樣的數(shù)學(xué),就不是好的數(shù)學(xué),為什么?因為它難以有進(jìn)一步的發(fā)展.”[2]我們認(rèn)為,凡是數(shù)學(xué)都需要“人在動腦筋”,都具有“訓(xùn)練思維的作用”,但對學(xué)生而言,應(yīng)該讓他們學(xué)習(xí)一些對培養(yǎng)他們的思維和能力具有很強遷移效果且結(jié)論對后續(xù)知識及現(xiàn)實實際都有重大作用的數(shù)學(xué):(1)結(jié)論并不重要的數(shù)學(xué)知識對以后學(xué)習(xí)起不了多少平臺作用,就像陳省身所說的,“難以有進(jìn)一步的發(fā)展.”記住反而加重記憶負(fù)擔(dān);(2)過程不重要,有些甚至使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生誤解.例如,觀察數(shù)列的前五項,寫出這個數(shù)列的第六項:61,52,63,94,46,答案是18.理由是把這個數(shù)列的每一項數(shù)碼的個位數(shù)與十位數(shù)對調(diào):16,25,36,49,64,按照這個規(guī)律,接下去是81,然后調(diào)換個位數(shù)與十位數(shù),即得答案.按照現(xiàn)在時髦的語言,這是“腦筋急轉(zhuǎn)彎”!我們認(rèn)為,這種“整人的數(shù)學(xué)”還是少出現(xiàn)為妙!這種數(shù)學(xué)或許可以作為一種“茶余飯后”的“游戲數(shù)學(xué)”但不能成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主角.
二、宏觀與微觀的協(xié)調(diào)
在閱讀一些教學(xué)設(shè)計時,我們發(fā)現(xiàn)“宏觀思維”的培養(yǎng)設(shè)計存在明顯的不足,往往讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上出現(xiàn)只見樹木不見森林的結(jié)局.我們經(jīng)常在聽完一些老師的授課后,詢問學(xué)生:“為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容?”非常遺憾:經(jīng)常出現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生回答不出來的尷尬局面!得到的答案要么是“課本里有!”“老師叫學(xué)就學(xué)!”“考試有用!”等,或者干脆就搖搖頭:“不知道!”
案例2 整式的教學(xué)設(shè)計
新課程改革的一個很大的特點就是教材中的每一章甚至每一節(jié)中都有一個導(dǎo)言,而有些老師往往“性子急”,對這個導(dǎo)言(這個導(dǎo)言其實往往是從宏觀思維到微觀思維的引導(dǎo))經(jīng)常視而不見,起始就把學(xué)生往細(xì)節(jié)上引導(dǎo).這種做法對學(xué)生宏觀的思維培養(yǎng)很不利,而宏觀把握是一個人聰明才智的一個很重要特征,忽視不得!
三、感性與理性的抉擇
數(shù)學(xué)教學(xué)講究理性,但不否認(rèn)感性,尤其是數(shù)學(xué)靈感.靈感在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中所起的作用我們不再細(xì)述,數(shù)學(xué)史上很多重大發(fā)現(xiàn)與靈感有著千絲萬縷的關(guān)系,而數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)純粹靠數(shù)學(xué)推理的訓(xùn)練來達(dá)到目的恐怕少有人贊同.新課程強調(diào)數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng),為此,針對中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容,教師必須對感性與理性的培養(yǎng)設(shè)計有一個清醒的認(rèn)識和合理的安排.
案例3 勾股定理的教學(xué)設(shè)計
勾股定理的教學(xué)設(shè)計一直是我們數(shù)學(xué)教師喜歡討論的重要課題,我們也閱讀了不少關(guān)于勾股定理的教學(xué)設(shè)計,發(fā)現(xiàn)不少老師是先創(chuàng)設(shè)一個關(guān)于直角三角形三邊長的問題情境(比如:一棵樹半腰處被雷劈折但未完全斷開,樹尖觸地,留余部分長為4米,被劈折部分長5米,樹尖觸地點距樹根部恰好是3米),要求學(xué)生算這三邊的平方(或者算以這三邊分別為三個正方形邊長的三個正方形面積),并問它們之間有什么關(guān)系(有的老師甚至要求學(xué)生把兩條直角邊的平方和算出來并和斜邊的平方進(jìn)行比較),以期引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)勾股定理.這種煞費苦心的設(shè)計似乎想培養(yǎng)學(xué)生的運算、推理及發(fā)現(xiàn)的能力,但我們認(rèn)為這是對數(shù)學(xué)靈感的“不尊”,也對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力培養(yǎng)起不到多少作用.因為沒有教師的引導(dǎo),學(xué)生根本想不到去關(guān)注直角三角形三邊的平方關(guān)系.在查閱一些教學(xué)設(shè)計中,我們隱約感覺到目前似乎存在這樣的一種認(rèn)識:數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是有章可循的.其實,關(guān)于數(shù)學(xué)靈感還有很多方面我們目前仍無法解釋.我們大家應(yīng)該有這樣的一種體會:一些問題當(dāng)我們自己解決后,人家問我們是如何找到解決方案的,我們自己可能也講不清楚,因為它是屬于“靈光一現(xiàn)的產(chǎn)物”.試想,一些前人都講不清楚自己是如何發(fā)現(xiàn)的東西,在后人的教育中似乎一切都順理成章,這是否是教育成功的表現(xiàn)?
我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)設(shè)計有時應(yīng)該向語文、歷史等學(xué)科學(xué)習(xí),語文老師絕對不會把李白的詩詞“剖析”得似乎是很自然、應(yīng)該寫得出的事情,而是和學(xué)生一起欣賞李白的詩詞,努力帶領(lǐng)學(xué)生去體會李白當(dāng)時醉酒寫詩的意境,邊欣賞邊引導(dǎo)學(xué)生反思和感悟如何寫好一首詩,因為語文老師深知李白自己可能也不知道自己在幾乎醉酒狀態(tài)下是如何寫出這些流傳千古的詩詞.受此啟發(fā),我們覺得,數(shù)學(xué)中有很多發(fā)現(xiàn)及采取構(gòu)造性證明的數(shù)學(xué)問題(很多數(shù)學(xué)名題正是因為它很難發(fā)現(xiàn)或很難證明而出名的,如勾股定理、韋達(dá)定理、多面體的歐拉公式等)的教學(xué)策略,應(yīng)該與語文、歷史等學(xué)科一樣引導(dǎo)學(xué)生欣賞的同時,讓學(xué)生帶著仰慕的心情在欣賞前人勤勞和聰明才智的同時鼓勵學(xué)生積極反思.
勾股定理的教學(xué)真正是集靈感欣賞與邏輯推理的“一道數(shù)學(xué)文化教育的大餐”:從設(shè)計一定邏輯關(guān)聯(lián)(也是教育學(xué)生研究問題的科學(xué)方法)開始,提出即將要研究的問題,從對前人勞動的欣賞到引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜測與反思,無不顯示著教學(xué)設(shè)計者的數(shù)學(xué)教育觀念和聰明才智.也有學(xué)者通過文化視角審視勾股定理的設(shè)計[3],讓我們耳目一新,值得我們借鑒.
四、發(fā)現(xiàn)與技能的博弈
“發(fā)現(xiàn)”與“技能”似乎不是在“同一個范疇”上的用詞,但在課堂教學(xué)中,它們往往存在著時間上的“博弈”.荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提倡“再創(chuàng)造教學(xué)”,指出我們數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)一樣讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現(xiàn)過程,但在有限的教學(xué)時間內(nèi),到底是需要讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現(xiàn)過程還是騰出更多的時間讓學(xué)生訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能?這往往是我們教師在教學(xué)設(shè)計上不得不考慮的一個問題.
案例4 圓周角定理的教學(xué)設(shè)計
“圓周角定理”的教學(xué)被一些老師稱為“數(shù)學(xué)教學(xué)的一道大餐”,因為它涵蓋了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)技能形成的“整個過程”,這道“大餐”往往被要求“在一節(jié)課內(nèi)完成”,這堂課有兩個難點:一是圓周角定理的發(fā)現(xiàn);二是圓周角定理的證明.這兩個環(huán)節(jié)都需要相當(dāng)時間和一定的教學(xué)技巧.這迫使一些老師進(jìn)行抉擇:到底哪個更重要?從理論上講,發(fā)現(xiàn)一個問題比解決一個問題更重要,一個人若發(fā)現(xiàn)能力得到加強,那他將終生受用,但是,數(shù)學(xué)技能的形成卻是眼前的需要,甚至是急需.或許有人會說:“這兩者不一定是矛盾的雙方.”我們也無意讓這兩者成為“對立派”,但在有限的教學(xué)時間內(nèi),不同的教師由于觀念的差異往往在時間的分配上會有所博弈.有的老師就干脆先給出圓周角的概念,然后用幾何畫板邊演示邊問學(xué)生:“圓周角的頂點在圓周上移動的時候,圓周角大小有什么變化?”得到的答案自然是“沒有變化!”甚至是“等于同弧所對的圓心角的一半.”我們認(rèn)為,這種設(shè)計表面上也有“發(fā)現(xiàn)”過程的設(shè)計,而且“很順”,節(jié)省了時間!其實,這無助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的提高!
假如我們肯在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題能力上花時間,或許這樣的設(shè)計思路可以一試:教師先在引導(dǎo)學(xué)生回顧圓心角的概念后,問:“假如我們把圓心角的頂點移動,角度大小是否會發(fā)生變化?”當(dāng)?shù)玫綄W(xué)生的肯定回答后,教師順勢引導(dǎo):“我們能否把這些角分分類?”在學(xué)生得出“依據(jù)頂點在圓內(nèi)、圓上、圓外進(jìn)行分類”的
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